Seja T: R^3 longrightarrow R^2 uma transformação linear e B=v1, v2, v3 uma base do R^3, sendo v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0). Sabendo que T(v1)=(1,-2), T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2), determinar:
(b) T(2,3,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão fala sobre uma transformação linear que leva vetores de para . Você tem uma base de composta pelos vetores e , e sabe como age em cada um desses vetores. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a imagem do vetor através dessa transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar c1 cdot v1 + c2 cdot v2 + c3 cdot v3 = (2,3,-2) , precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que vamos encontrar coeficientes e tais que:

Passo 3

Vamos substituir os vetores da base c1 cdot (0,1,0) + c2 cdot (1,0,1) + c3 cdot (1,1,0) = (2,3,-2) na equação acima:
(0 cdot c1 + 1 cdot c2 + 1 cdot c3, 1 cdot c1 + 0 cdot c2 + 1 cdot c3, 0 cdot c1 + 1 cdot c2 + 0 cdot c3) = (2,3,-2)
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
c2 + c3 = 2 c1 + c3 = 3 c2 = -2
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da terceira equação, já sabemos que:
c2 = -2
Substituindo -2 + c3 = 2 c3 = 2 + 2 c3 = 4 na primeira equação:
c1 + 4 = 3 c1 = 3 - 4 c1 = -1
Agora, usando c1 = -1, c2 = -2, c3 = 4 na segunda equação:
Então, os coeficientes são:

Passo 5

Com os coeficientes encontrados, podemos usar a propriedade da linearidade da transformação T(c1 cdot v1 + c2 cdot v2 + c3 cdot v3) = c1 cdot T(v1) + c2 cdot T(v2) + c3 cdot T(v3) , que nos diz que:
T(2,3,-2) = (-1) cdot T(v1) + (-2) cdot T(v2) + 4 cdot T(v3)
Substituindo os valores:
T(v1) = (1,-2), T(v2) = (3,1), T(v3) = (0,2)
Sabemos que:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
-1 cdot T(v1) = -1 cdot (1,-2) = (-1,2)
-2 cdot T(v2) = -2 cdot (3,1) = (-6,-2)
4 cdot T(v3) = 4 cdot (0,2) = (0,8)
Agora, somamos esses resultados:
(-1,2) + (-6,-2) + (0,8) = (-1 -6 +0, 2 -2 +8) = (-7,8)

Resposta

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