Seja uma transformação linear e uma base do , sendo , e . Sabendo que e , determinar: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão fala sobre uma transformação linear que leva vetores de para . Você tem uma base de composta pelos vetores e , e sabe como age em cada um desses vetores. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a imagem do vetor através dessa transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar , precisamos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que vamos encontrar coeficientes e tais que:
Passo 3
Vamos substituir os vetores da base na equação acima:
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da terceira equação, já sabemos que:
c2 = -2
Substituindo -2 + c3 = 2 c3 = 2 + 2 c3 = 4 na primeira equação:
c1 + 4 = 3 c1 = 3 - 4 c1 = -1
Agora, usando c1 = -1, c2 = -2, c3 = 4 na segunda equação:
Então, os coeficientes são:
Passo 5
Com os coeficientes encontrados, podemos usar a propriedade da linearidade da transformação T(c1 cdot v1 + c2 cdot v2 + c3 cdot v3) = c1 cdot T(v1) + c2 cdot T(v2) + c3 cdot T(v3) , que nos diz que: