Seja
um anel. Prove: Se
para quaisquer
, então
é um anel comutativo.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel
, que é uma estrutura algébrica com duas operações: adição e multiplicação. O enunciado nos diz que, para quaisquer elementos
e
em
, a seguinte igualdade vale:
Nosso objetivo é provar que
é um anel comutativo, ou seja, que a multiplicação satisfaz
para todos
.
Passo 2
Vamos começar expandindo o lado esquerdo da igualdade dada usando a definição de potência no anel. Por definição:
Agora, vamos distribuir a multiplicação:
Portanto, temos:
Passo 3
Segundo o enunciado, essa expressão deve ser igual a:
Então, podemos igualar as duas expressões:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa igualdade. Podemos cancelar
e
de ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados, obtemos:
Passo 5
A igualdade
mostra que, para quaisquer
e
em
, a multiplicação é comutativa. Isso significa que o anel
satisfaz a condição de comutatividade na multiplicação.
Resposta
Portanto, provamos que
é um anel comutativo, pois
para todos
.