Seja A um anel. Prove: Se (alpha+beta)^2=alpha^2+2 alpha beta+beta^2 para quaisquer alpha, beta in A, então A é um anel comutativo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel (alpha + beta)^2 = alpha^2 + 2alphabeta + beta^2 , que é uma estrutura algébrica com duas operações: adição e multiplicação. O enunciado nos diz que, para quaisquer elementos e em , a seguinte igualdade vale:
Nosso objetivo é provar que é um anel comutativo, ou seja, que a multiplicação satisfaz para todos .

Passo 2

Vamos começar expandindo o lado esquerdo da igualdade dada usando a definição de potência no anel. Por definição:
(alpha + beta)^2 = (alpha + beta)(alpha + beta)
Agora, vamos distribuir a multiplicação:
(alpha + beta)(alpha + beta) = alphaalpha + alphabeta + betaalpha + betabeta = alpha^2 + alphabeta + betaalpha + beta^2
Portanto, temos:
(alpha + beta)^2 = alpha^2 + alphabeta + betaalpha + beta^2

Passo 3

Segundo o enunciado, essa expressão deve ser igual a:
alpha^2 + 2alphabeta + beta^2
Então, podemos igualar as duas expressões:
alpha^2 + alphabeta + betaalpha + beta^2 = alpha^2 + 2alphabeta + beta^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa igualdade. Podemos cancelar alphabeta + betaalpha = 2alphabeta e betaalpha = alphabeta de ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados, obtemos:

Passo 5

A igualdade mostra que, para quaisquer e em , a multiplicação é comutativa. Isso significa que o anel satisfaz a condição de comutatividade na multiplicação.

Resposta

Portanto, provamos que é um anel comutativo, pois para todos .

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