Verifique se (A, *, triang<=) é anel, quando: A=Q, a * b=a+b-1 e a triang<= b=a+b-a b;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a estrutura (A, *, triang<=) forma um anel. Aqui, A é o conjunto dos números racionais Q, e as operações são definidas por:
  • Adição personalizada: a * b = a + b - 1
  • Multiplicação personalizada: a triang<= b = a + b - a b
Para resolver isso, precisamos lembrar que um anel é um conjunto equipado com duas operações que satisfazem certas propriedades. Vamos ver quais são essas propriedades e como checá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se (A, *) forma um grupo abeliano sob a operação *. Um grupo abeliano precisa satisfazer:
  1. Fechamento: Se você pegar dois elementos em A e aplicar *, o resultado também está em A.
  2. Associatividade: (a * b) * c = a * (b * c) para todos a, b, c in A.
  3. Elemento identidade: Existe um elemento e em A tal que a * e = e * a = a para todo a in A.
  4. Elementos inversos: Para todo a in A, existe um b in A tal que a * b = b * a = e.
  5. Comutatividade: a * b = b * a para todos a, b in A.
Vamos checar cada uma dessas propriedades.

Passo 3

1. Fechamento:
Para quaisquer a, b in Q, temos a * b = a + b - 1. Como a soma e a subtração de racionais são racionais, a * b também está em Q. Portanto, o fechamento está ok.
2. Associatividade:
Vamos verificar se (a * b) * c = a * (b * c).
Calculando (a * b) * c:
(a + b - 1) * c = (a + b - 1) + c - 1 = a + b + c - 2
Calculando a * (b * c):
a * (b + c - 1) = a + (b + c - 1) - 1 = a + b + c - 2
Como ambos os lados são iguais, a operação * é associativa.
3. Elemento identidade:
Queremos encontrar um e tal que a * e = a.
a * e = a + e - 1 = a implies e - 1 = 0 implies e = 1
Portanto, o elemento identidade é 1.
4. Elementos inversos:
Para cada a in Q, queremos um b tal que a * b = 1.
a + b - 1 = 1 implies a + b = 2 implies b = 2 - a
Como a é racional, 2 - a também é racional. Portanto, todo elemento tem inverso.
5. Comutatividade:
Para quaisquer a, b in Q:
a * b = a + b - 1 = b + a - 1 = b * a
A operação * é comutativa.
Assim, (A, *) é de fato um grupo abeliano.

Passo 4

Agora, vamos verificar se (A, triang<=) é uma operação associativa e se ela se comporta bem com a operação * (distributividade).
Associatividade de triang<=:
Vamos checar se (a triang<= b) triang<= c = a triang<= (b triang<= c).
Calculando (a triang<= b) triang<= c:
(a + b - a b) triang<= c = (a + b - a b) + c - (a + b - a b) c
Simplificando:
= a + b - a b + c - a c - b c + a b c
Calculando a triang<= (b triang<= c):
a triang<= (b + c - b c) = a + (b + c - b c) - a (b + c - b c)
Simplificando:
= a + b + c - b c - a b - a c + a b c
Comparando os dois resultados:
a + b - a b + c - a c - b c + a b c = a + b + c - b c - a b - a c + a b c
São iguais, então triang<= é associativa.
Distributividade:
Precisamos verificar se triang<= distribui sobre *, ou seja:
a triang<= (b * c) = (a triang<= b) * (a triang<= c)
Vamos calcular ambos os lados.
Calculando a triang<= (b * c):
b * c = b + c - 1
Então:
a triang<= (b + c - 1) = a + (b + c - 1) - a(b + c - 1) = a + b + c - 1 - a b - a c + a
Simplificando:
= 2a + b + c - 1 - a b - a c
Calculando (a triang<= b) * (a triang<= c):
a triang<= b = a + b - a b
a triang<= c = a + c - a c
Então:
(a + b - a b) * (a + c - a c) = (a + b - a b) + (a + c - a c) - 1
Simplificando:
= 2a + b + c - a b - a c - 1
Ambos os lados são iguais:
2a + b + c - 1 - a b - a c
Portanto, a distributividade é válida.

Passo 5

Por fim, precisamos verificar se a operação triang<= é associativa e se a operação * é comutativa e tem elemento neutro, o que já fizemos nos passos anteriores. Como todas as propriedades necessárias para um anel foram verificadas:
  1. (A, *) é um grupo abeliano.
  2. (A, triang<=) é uma operação associativa que distribui sobre *.

Resposta

Sim, (A, *, triang<=) é um anel.

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