Verifique se
é anel, quando:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a estrutura
forma um anel. Aqui,
é o conjunto dos números racionais
, e as operações são definidas por:
- Adição personalizada:
- Multiplicação personalizada:
Para resolver isso, precisamos lembrar que um anel é um conjunto equipado com duas operações que satisfazem certas propriedades. Vamos ver quais são essas propriedades e como checá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
forma um grupo abeliano sob a operação
. Um grupo abeliano precisa satisfazer:
- Fechamento: Se você pegar dois elementos em
e aplicar , o resultado também está em . - Associatividade:
para todos . - Elemento identidade: Existe um elemento
em tal que para todo . - Elementos inversos: Para todo
, existe um tal que . - Comutatividade:
para todos .
Vamos checar cada uma dessas propriedades.
Passo 3
1. Fechamento:
Para quaisquer
, temos
. Como a soma e a subtração de racionais são racionais,
também está em
. Portanto, o fechamento está ok.
2. Associatividade:
Vamos verificar se
.
Calculando
:
Calculando
:
Como ambos os lados são iguais, a operação
é associativa.
3. Elemento identidade:
Queremos encontrar um
tal que
.
Portanto, o elemento identidade é
.
4. Elementos inversos:
Para cada
, queremos um
tal que
.
Como
é racional,
também é racional. Portanto, todo elemento tem inverso.
5. Comutatividade:
Para quaisquer
:
A operação
é comutativa.
Assim,
é de fato um grupo abeliano.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é uma operação associativa e se ela se comporta bem com a operação
(distributividade).
Associatividade de
:
Vamos checar se
.
Calculando
:
Simplificando:
Calculando
:
Simplificando:
Comparando os dois resultados:
São iguais, então
é associativa.
Distributividade:
Precisamos verificar se
distribui sobre
, ou seja:
Vamos calcular ambos os lados.
Calculando
:
Então:
Simplificando:
Calculando
:
Então:
Simplificando:
Ambos os lados são iguais:
Portanto, a distributividade é válida.
Passo 5
Por fim, precisamos verificar se a operação
é associativa e se a operação
é comutativa e tem elemento neutro, o que já fizemos nos passos anteriores. Como todas as propriedades necessárias para um anel foram verificadas:
-
é um grupo abeliano. -
é uma operação associativa que distribui sobre .
Resposta
Sim,
é um anel.