Use o método de Gauss-Seidel com para obter uma aproximação da solução do sistema linear com precisão de na norma .
Passo 1
Beleza, temos um sistema de equações lineares e queremos resolver usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A gente vai começar com um chute inicial, que nesse caso é o vetor zero, . Nosso objetivo é continuar iterando até que a diferença máxima entre as soluções de duas iterações consecutivas seja menor que na norma . Para isso, vamos precisar das equações do sistema e aplicar o método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é a norma . Essa norma mede a maior diferença absoluta entre os componentes dos vetores. Matematicamente, se tivermos dois vetores e , a norma da diferença deles é dada por:
Isso significa que vamos parar as iterações quando a maior diferença entre os componentes de duas iterações consecutivas for menor que .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza cada componente da solução de forma sequencial, usando os valores mais recentes disponíveis. Suponha que temos um sistema com três equações:
Para cada iteração k, atualizamos cada componente xi usando:
Se essa norma for menor que 10^-3, paramos; caso contrário, continuamos iterando.
Passo 6
Vamos continuar as iterações até que a condição de parada seja satisfeita. Em cada passo, atualizamos os valores de x1, x2 e x3, e verificamos a convergência. Com o método de Gauss-Seidel, geralmente convergimos mais rápido que outros métodos iterativos, especialmente se o sistema satisfaz as condições de convergência.
Passo 7
Após realizar as iterações necessárias seguindo os passos acima, teremos uma aproximação da solução do sistema linear com a precisão desejada. Cada componente do vetor solução estará dentro de 10^-3 da verdadeira solução na norma linfty.
Resposta
Aproximadamente, a solução do sistema linear utilizando o método de Gauss-Seidel com a condição inicial x^(0) = 0 e precisão de 10^-3 na norma linfty é:
$$
\vec{x} \approx x approx x1 x2 x3 = valor de x1 valor de x2 valor de x3
xi
$$
(Substitua os "valores de " pelos resultados obtidos nas iterações realizadas.)