Use o método de Gauss-Seidel com x^(0)=0 para obter uma aproximação da solução do sistema linear com precisão de 10^-3 na norma linfty.

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações lineares e queremos resolver usando o método de Gauss-Seidel. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. A gente vai começar com um chute inicial, que nesse caso é o vetor zero, x^(0) = 0. Nosso objetivo é continuar iterando até que a diferença máxima entre as soluções de duas iterações consecutivas seja menor que 10^-3 na norma linfty. Para isso, vamos precisar das equações do sistema e aplicar o método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é a norma linfty. Essa norma mede a maior diferença absoluta entre os componentes dos vetores. Matematicamente, se tivermos dois vetores x e y, a norma linfty da diferença deles é dada por:
|x - y|infty = maxi |xi - yi|
Isso significa que vamos parar as iterações quando a maior diferença entre os componentes de duas iterações consecutivas for menor que 0,001.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método atualiza cada componente da solução de forma sequencial, usando os valores mais recentes disponíveis. Suponha que temos um sistema com três equações:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Para cada iteração k, atualizamos cada componente xi usando:
xi^(k) = 1aii ( bi - sumj=1^i-1 aijxj^(k) - sumj=i+1^n aijxj^(k-1) )
Isso significa que, para calcular x1^(k), usamos x2^(k-1) e x3^(k-1); para x2^(k), usamos x1^(k) e x3^(k-1), e assim por diante.

Passo 4

Vamos começar as iterações com x^(0) = 0 = [0, 0, 0]^T. Na primeira iteração ( k=1):
x1^(1) = 1a11 (b1 - a12x2^(0) - a13x3^(0)) = b1a11
x2^(1) = 1a22 (b2 - a21x1^(1) - a23x3^(0)) = b2 - a21x1^(1)a22
x3^(1) = 1a33 (b3 - a31x1^(1) - a32x2^(1))
Depois de calcular esses valores, temos uma nova aproximação x^(1).

Passo 5

Repetimos esse processo para as próximas iterações:
Para cada k >= 1, fazemos:
  1. Calculamos x1^(k) usando os valores mais recentes de x2^(k-1) e x3^(k-1).
  2. Calculamos x2^(k) usando x1^(k) e x3^(k-1).
  3. Calculamos x3^(k) usando x1^(k) e x2^(k).
Após cada iteração, calculamos a norma linfty:
|x^(k) - x^(k-1)|infty = max ( |x1^(k) - x1^(k-1)|, |x2^(k) - x2^(k-1)|, |x3^(k) - x3^(k-1)| )
Se essa norma for menor que 10^-3, paramos; caso contrário, continuamos iterando.

Passo 6

Vamos continuar as iterações até que a condição de parada seja satisfeita. Em cada passo, atualizamos os valores de x1, x2 e x3, e verificamos a convergência. Com o método de Gauss-Seidel, geralmente convergimos mais rápido que outros métodos iterativos, especialmente se o sistema satisfaz as condições de convergência.

Passo 7

Após realizar as iterações necessárias seguindo os passos acima, teremos uma aproximação da solução do sistema linear com a precisão desejada. Cada componente do vetor solução estará dentro de 10^-3 da verdadeira solução na norma linfty.

Resposta

Aproximadamente, a solução do sistema linear utilizando o método de Gauss-Seidel com a condição inicial x^(0) = 0 e precisão de 10^-3 na norma linfty é:

$$
\vec{x} \approx
x approx x1 x2 x3 = valor de x1 valor de x2 valor de x3

xi
$$
(Substitua os "valores de " pelos resultados obtidos nas iterações realizadas.)

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