Seja T: R^2 longrightarrow R^2 uma transformação linear bijetora. Mostre que T leva retas em retas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma transformação linear bijetora transforma retas em retas. Isso está no campo da Álgebra Linear, e vamos precisar entender o que são transformações lineares, bijetividade e como elas afetam objetos geométricos como retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura vetorial.

Passo 3

Agora, sendo bijetora, isso significa que é tanto injeção (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) quanto sobrejeta (cada elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio). Isso garante que tenha uma inversa .

Passo 4

Vamos considerar uma reta no plano r(t) = p + tv . Uma reta pode ser representada parametricamente como:
onde é um ponto na reta, é um vetor diretor, e varia nos números reais.

Passo 5

Aplicando a transformação T(r(t)) = T(p + tv) = T(p) + tT(v) nessa reta, temos:
Aqui, usei a propriedade de aditividade e homogeneidade da transformação linear.

Passo 6

Observe que r'(t) = p' + tv' é apenas um novo ponto no plano e é um novo vetor diretor. Então, a imagem de sob também tem a forma de uma reta:
onde e .

Passo 7

Como é bijetora, não é o vetor nulo, garantindo que a direção da reta é preservada. Portanto, a imagem de qualquer reta por é outra reta em .

Resposta

Assim, mostramos que uma transformação linear bijetora leva retas em retas.

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