Seja
uma transformação linear bijetora. Mostre que T leva retas em retas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma transformação linear bijetora
transforma retas em retas. Isso está no campo da Álgebra Linear, e vamos precisar entender o que são transformações lineares, bijetividade e como elas afetam objetos geométricos como retas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear
satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura vetorial.
Passo 3
Agora, sendo
bijetora, isso significa que
é tanto injeção (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) quanto sobrejeta (cada elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio). Isso garante que
tenha uma inversa
.
Passo 4
Vamos considerar uma reta no plano
. Uma reta pode ser representada parametricamente como:
onde
é um ponto na reta,
é um vetor diretor, e
varia nos números reais.
Passo 5
Aplicando a transformação
nessa reta, temos:
Aqui, usei a propriedade de aditividade e homogeneidade da transformação linear.
Passo 6
Observe que
é apenas um novo ponto no plano e
é um novo vetor diretor. Então, a imagem de
sob
também tem a forma de uma reta:
onde
e
.
Passo 7
Como
é bijetora,
não é o vetor nulo, garantindo que a direção da reta é preservada. Portanto, a imagem de qualquer reta por
é outra reta em
.
Resposta
Assim, mostramos que uma transformação linear bijetora
leva retas em retas.