Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 4x4. Determinantes são números que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que ajudam a entender várias propriedades dessa matriz, como se ela tem inversa ou não. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores, mas para matrizes maiores que 3x3, a expansão por menores é mais prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando a expansão por menores. A ideia é escolher uma linha ou coluna e expandir o determinante em termos de menores e cofatores. Geralmente, escolhemos a linha ou coluna que facilita os cálculos, preferencialmente aquela que tem zeros, pois isso simplifica as coisas.

Passo 3

Vamos observar a matriz dada:
Percebi que na segunda linha, o primeiro elemento é zero. Isso é ótimo porque simplifica nossa conta. Então, vamos expandir o determinante pela segunda linha.

Passo 4

A fórmula para o determinante usando a expansão pela segunda linha é:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Como , esse termo vai desaparecer, facilitando nossa vida. Então, precisamos calcular os cofatores , e .

Passo 5

Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator :
    Removemos a segunda linha e a segunda coluna:
    O determinante dessa matriz 3x3 é:
    Como
  • Cofator :
    Removemos a segunda linha e a terceira coluna:
    O determinante dessa matriz 3x3 é:
    Como
  • Cofator :
    Removemos a segunda linha e a quarta coluna:
    O determinante dessa matriz 3x3 é:
    Como

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do determinante:

Resposta

O determinante da matriz é 376.

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