Calcule
det A=|llll 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 5 & 6 & 7 & 2 3 & 1 & 4 & 6 |

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 4x4. Determinantes são números que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que ajudam a entender várias propriedades dessa matriz, como se ela tem inversa ou não. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra de Sarrus ou a expansão por menores, mas para matrizes maiores que 3x3, a expansão por menores é mais prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 4x4 usando a expansão por menores. A ideia é escolher uma linha ou coluna e expandir o determinante em termos de menores e cofatores. Geralmente, escolhemos a linha ou coluna que facilita os cálculos, preferencialmente aquela que tem zeros, pois isso simplifica as coisas.

Passo 3

Vamos observar a matriz dada:
A = 3 & 2 & 1 & 4 0 & 1 & 9 & 8 5 & 6 & 7 & 2 3 & 1 & 4 & 6
Percebi que na segunda linha, o primeiro elemento é zero. Isso é ótimo porque simplifica nossa conta. Então, vamos expandir o determinante pela segunda linha.

Passo 4

A fórmula para o determinante usando a expansão pela segunda linha é:
det(A) = a21C21 + a22C22 + a23C23 + a24C24
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Como , esse termo vai desaparecer, facilitando nossa vida. Então, precisamos calcular os cofatores , e .

Passo 5

Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator 3 & 1 & 4 5 & 7 & 2 3 & 4 & 6 :
    Removemos a segunda linha e a segunda coluna:
    3(7 cdot 6 - 2 cdot 4) - 1(5 cdot 6 - 2 cdot 3) + 4(5 cdot 4 - 7 cdot 3) = 3(42 - 8) - 1(30 - 6) + 4(20 - 21) = 3(34) - 1(24) + 4(-1) = 102 - 24 - 4 = 74
    O determinante dessa matriz 3x3 é:
    3 & 2 & 4 5 & 6 & 2 3 & 1 & 6
    Como 3(6 cdot 6 - 2 cdot 1) - 2(5 cdot 6 - 2 cdot 3) + 4(5 cdot 1 - 6 cdot 3) = 3(36 - 2) - 2(30 - 6) + 4(5 - 18) = 3(34) - 2(24) + 4(-13) = 102 - 48 - 52 = 2
  • Cofator 3 & 2 & 1 5 & 6 & 7 3 & 1 & 4 :
    Removemos a segunda linha e a terceira coluna:
    3(6 cdot 4 - 7 cdot 1) - 2(5 cdot 4 - 7 cdot 3) + 1(5 cdot 1 - 6 cdot 3) = 3(24 - 7) - 2(20 - 21) + 1(5 - 18) = 3(17) - 2(-1) + 1(-13) = 51 + 2 - 13 = 40
    O determinante dessa matriz 3x3 é:
    Como
  • Cofator :
    Removemos a segunda linha e a quarta coluna:
    O determinante dessa matriz 3x3 é:
    Como

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores na fórmula do determinante:
det(A) = 0 times C21 + 1 times 74 + 9 times (-2) + 8 times 40 = 0 + 74 - 18 + 320 = 376

Resposta

O determinante da matriz é 376.

Exercícios relacionados