Seja
uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja
um subespaço não nulo. Prove que:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma transformação linear injetora
, entre subespaços vetoriais de dimensão finita. Temos também um subespaço não nulo
. O que precisamos provar aqui é que a dimensão da imagem de
sob
é igual à dimensão de
, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação
é injetora se diferentes vetores em
são mapeados para diferentes vetores em
. Formalmente, se
implica que
. Isso garante que
, ou seja, o núcleo de
contém apenas o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a dimensão de um subespaço. A dimensão de
,
, é o número de vetores em uma base de
. Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço.
Passo 4
Como
é uma transformação linear, a imagem de
sob
, denotada por
, também é um subespaço de
. O que precisamos mostrar é que a quantidade de vetores na base de
é a mesma que a quantidade de vetores na base de
.
Passo 5
Vamos considerar uma base de
. Seja
uma base de
. Como
é linear e injetora, a imagem desses vetores,
, será uma coleção de vetores em
.
Passo 6
Precisamos mostrar que
é uma base de
. Para isso, temos que verificar duas coisas: se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram
.
Passo 7
Primeiro, vamos verificar a linearidade independente. Suponha que uma combinação linear desses vetores seja zero:
Pelo fato de
ser linear, isso equivale a:
Como
é injetora, o único vetor que é mapeado para zero é o vetor zero, então:
Mas como
é uma base, os coeficientes
devem ser todos zero. Portanto,
é linearmente independente.
Passo 8
Agora, para mostrar que esses vetores geram
, consideramos qualquer vetor
. Isso significa que existe algum vetor
tal que
. Como
gera
, podemos escrever
para alguns escalares
. Aplicando
:
Isso mostra que
é uma combinação linear de
, portanto, esses vetores geram
.
Resposta
Concluímos que
é uma base de
e, portanto,
.
Exercícios relacionados
Determine a matriz canônica da transformação linear
que leva o plano
no plano
e tem como núcleo a reta
. A transformação
é injetora?
é sobrejetora? Justifique.
Seja
uma transformação linear.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre : se
é LI então
é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre
Seja
, onde
.
(b) Encontre a inversa de .
(b) Encontre a inversa de
Determine a matriz na base canônica de uma transformação linear
que leva o plano
no plano
.