Seja
uma transformação linear.
(a) Suponha que
é LI, mas
é LD. Mostre que
tem uma solução não-trivial.
(a) Suponha que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma transformação linear
. Foi dado que o conjunto
em
é linearmente independente (LI), mas após aplicar
, o conjunto
se torna linearmente dependente (LD). Nosso objetivo é mostrar que a equação
tem uma solução não-trivial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de independência linear e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, como sabemos que
é linearmente dependente, existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, existem escalares
e
, não ambos zero, tais que:
Passo 3
Usando a propriedade de linearidade da transformação
, podemos fatorar os escalares:
Isso significa que o vetor
é mapeado para o vetor zero pela transformação
.
Passo 4
Como
e
não são ambos zero, o vetor
é uma combinação não trivial dos vetores
e
. Além disso, já que
é linearmente independente, isso garante que
.
Passo 5
Portanto, encontramos um vetor
que não é o vetor zero e satisfaz
. Isso mostra que a equação
tem uma solução não-trivial.
Resposta
A equação
possui uma solução não-trivial, especificamente
, onde
e
não são ambos zero.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes T. lineares:
-
definida por . -
definida por . -
definida por .
Calcule o que se pede:
(b)
Sejam
e
bases do
tais que
e
.
(b) Encontre , se
.
(b) Encontre
Considere as seguintes T. lineares:
-
definida por . -
definida por . -
definida por .
Calcule o que se pede:
©
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.