Seja uma transformação linear.
(a) Suponha que é LI, mas é LD. Mostre que tem uma solução não-trivial.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma transformação linear . Foi dado que o conjunto em é linearmente independente (LI), mas após aplicar , o conjunto se torna linearmente dependente (LD). Nosso objetivo é mostrar que a equação tem uma solução não-trivial. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de independência linear e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, como sabemos que é linearmente dependente, existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, existem escalares e , não ambos zero, tais que:

Passo 3

Usando a propriedade de linearidade da transformação , podemos fatorar os escalares:
Isso significa que o vetor é mapeado para o vetor zero pela transformação .

Passo 4

Como e não são ambos zero, o vetor é uma combinação não trivial dos vetores e . Além disso, já que é linearmente independente, isso garante que .

Passo 5

Portanto, encontramos um vetor que não é o vetor zero e satisfaz . Isso mostra que a equação tem uma solução não-trivial.

Resposta

A equação possui uma solução não-trivial, especificamente , onde e não são ambos zero.

Exercícios relacionados

Considere as seguintes T. lineares:
  1. definida por .
  2. definida por .
  3. definida por .
    Calcule o que se pede:
    (b)
Sejam e bases do tais que e .
(b) Encontre , se .
Considere as seguintes T. lineares:
  1. definida por .
  2. definida por .
  3. definida por .
    Calcule o que se pede:
    ©
Classifique e esboce cada uma das superfícies abaixo.