A transformação linear
dada por
é injetiva? É sobrejetiva?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear
definida por
. A gente precisa descobrir se essa transformação é injetiva (ou seja, se elementos diferentes de
são mapeados para elementos diferentes em
) e se é sobrejetiva (ou seja, se todo elemento em
tem pelo menos um pré-imagem em
). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a transformação
está fazendo. Ela pega um polinômio de grau até 3,
, e calcula a sua segunda derivada,
. Por exemplo, se
, então:
Então,
, que é um polinômio de grau até 1, ou seja, pertencente a
.
Passo 3
Vamos verificar a injetividade. Uma transformação linear
é injetiva se o seu núcleo (o conjunto de todos os
tais que
) contém apenas o vetor zero.
Então, vamos achar o núcleo de
:
Isso significa que a segunda derivada de
é zero. Integrando duas vezes, temos:
Então, o núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1, ou seja,
. Como o núcleo não contém apenas o vetor zero (há infinitos polinômios em
), a transformação
não é injetiva.
Passo 4
Agora, vamos verificar a sobrejetividade. Uma transformação linear
é sobrejetiva se, para todo
, existe pelo menos um
tal que
.
No nosso caso, queremos saber se para todo polinômio
, existe um polinômio
tal que
.
Vamos considerar um polinômio genérico em
:
Queremos resolver a equação
. Integramos duas vezes:
Primeira integração:
Segunda integração:
Observamos que
precisa ser um polinômio de grau até 3 (
), mas o termo
é de grau 4, o que excede o espaço
. Portanto, não existe um polinômio em
cujo segunda derivada seja um polinômio de grau 2, a menos que
.
Isso significa que nem todo polinômio em
tem uma pré-imagem em
, então a transformação
não é sobrejetiva.
Resposta
A transformação
não é nem injetiva nem sobrejetiva.