A transformação linear dada por é injetiva? É sobrejetiva?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . A gente precisa descobrir se essa transformação é injetiva (ou seja, se elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes em ) e se é sobrejetiva (ou seja, se todo elemento em tem pelo menos um pré-imagem em ). Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a transformação está fazendo. Ela pega um polinômio de grau até 3, , e calcula a sua segunda derivada, . Por exemplo, se , então:
Então, , que é um polinômio de grau até 1, ou seja, pertencente a .
Passo 3
Vamos verificar a injetividade. Uma transformação linear é injetiva se o seu núcleo (o conjunto de todos os tais que ) contém apenas o vetor zero.
Então, vamos achar o núcleo de :
Isso significa que a segunda derivada de é zero. Integrando duas vezes, temos:
Então, o núcleo de é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1, ou seja, . Como o núcleo não contém apenas o vetor zero (há infinitos polinômios em ), a transformação não é injetiva.
Passo 4
Agora, vamos verificar a sobrejetividade. Uma transformação linear é sobrejetiva se, para todo , existe pelo menos um tal que .
No nosso caso, queremos saber se para todo polinômio , existe um polinômio tal que .
Vamos considerar um polinômio genérico em :
Queremos resolver a equação . Integramos duas vezes:
Primeira integração:
Segunda integração:
Observamos que precisa ser um polinômio de grau até 3 (), mas o termo é de grau 4, o que excede o espaço . Portanto, não existe um polinômio em cujo segunda derivada seja um polinômio de grau 2, a menos que .
Isso significa que nem todo polinômio em tem uma pré-imagem em , então a transformação não é sobrejetiva.
Resposta
A transformação não é nem injetiva nem sobrejetiva.