Seja B=v1, v2, v3 a base de R^3 constituída pelos vectores
v1=(2,0,0), v2=(1,1,0) e v3=(1,1,1)
Calcule as componentes do vector (2,0,1) nesta base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, a gente tem que entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma base B = v1, v2, v3 do espaço tridimensional R^3, onde cada vetor da base é dado por:
v1 = (2, 0, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 1, 1)
E a gente quer descobrir quais são os componentes do vetor (2, 0, 1) nessa base. Pra isso, a gente vai precisar usar a ideia de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. A ideia é que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma soma de múltiplos dos vetores da base. Então, queremos encontrar números c1, c2 e c3 tais que:
c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = (2, 0, 1)
Isso significa que:
c1 (2, 0, 0) + c2 (1, 1, 0) + c3 (1, 1, 1) = (2, 0, 1)

Passo 3

Agora, vamos expandir essa combinação:
(2c1 + c2 + c3, ; 0c1 + c2 + c3, ; 0c1 + 0c2 + c3) = (2, 0, 1)
Isso nos dá três equações:
  1. 2c1 + c2 + c3 = 2
  2. c2 + c3 = 0
  3. c3 = 1

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Começando pela terceira equação:
c3 = 1
Substituindo c3 na segunda equação:
c2 + 1 = 0 implies c2 = -1

Passo 5

Agora, com c2 e c3 conhecidos, substituímos esses valores na primeira equação:
2c1 + (-1) + 1 = 2 2c1 = 2 implies c1 = 1

Resposta

Então, as componentes do vetor (2, 0, 1) na base B são:
(1, -1, 1)

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