Sejam E=e1, e2, e3 uma base, f1=2 e1-e2+e3, f2=e2-e3, f3=3 e3.
Determine as coordenadas do vetor u=(0,1,-1)F na base E.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos duas bases no espaço tridimensional: a base f1 = 2,e1 - e2 + e3 e a base f2 = e2 - e3 , onde:
f3 = 3,e3
Queremos encontrar as coordenadas do vetor na base . Para isso, vamos precisar usar a teoria de mudança de base e expressar em termos dos vetores da base .

Passo 2

Vamos interpretar o que significa u = 0 cdot f1 + 1 cdot f2 - 1 cdot f3 . Isso indica que na base , o vetor é uma combinação linear dos vetores de com os coeficientes 0, 1 e -1:

Passo 3

Substituímos os vetores u = 0 cdot (2,e1 - e2 + e3) + 1 cdot (e2 - e3) - 1 cdot (3,e3) , e em termos da base :

Passo 4

Agora, realizamos as multiplicações e somamos os vetores:
u = 0 + (e2 - e3) - 3,e3
u = e2 - e3 - 3,e3
u = e2 - 4,e3

Passo 5

Assim, as coordenadas do vetor u = 0 cdot e1 + 1 cdot e2 - 4 cdot e3 na base são os coeficientes das combinações lineares dos vetores de . Portanto:

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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