Seja
tal que
. Ache os vetores
tal que
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão pede. Temos uma transformação linear
representada pela matriz
A tarefa é encontrar vetores
e
tais que
. Isso significa que estamos procurando por vetores que, ao serem transformados por
, resultem no vetor original multiplicado por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de valores e vetores próprios.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o vetor
como
Aplicando a transformação
em
, temos:
Queremos que
, então igualamos:
Passo 3
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
- Primeira componente:
Simplificando:
- Segunda componente:
Como já encontramos que
, essa equação também é satisfeita.
Passo 4
Com
, o vetor
fica:
onde
pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os vetores dessa forma são vetores próprios de
associados ao valor próprio
.
Resposta
Os vetores
e
que satisfazem
são todos os vetores da forma
onde
é um número real qualquer. Por exemplo, podemos escolher
Exercícios relacionados
Seja
tal que
. Ache os vetores
tal que
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Use a definição de transformação linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função
dada pela fórmula
é uma transformação linear.
Determine os valores de
,
e
para que as matrizes
e
sejam iguais.