Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
. Isso faz parte do estudo de autovalores e autovetores, que são ferramentas super úteis em várias áreas da matemática e ciências. Para resolver isso, vamos precisar usar o polinômio característico e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente precisa calcular o determinante da matriz
, onde
representa os autovalores e
é a matriz identidade. Ou seja, a gente resolve a equação:
Onde:
Passo 3
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Desenvolvendo:
Então, temos a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os autovalores
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os autovalores são 0 e 2.
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada
, resolvemos
.
Para
:
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então o autovetor correspondente é:
Para
:
Isso nos dá a equação:
Escolhendo
, o autovetor correspondente é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
.
Os autovetores correspondentes são:
Exercícios relacionados
Determine a equação reduzida da elipse onde:
O centro é , um dos vértices do eixo menor é
e a distância focal é 2 .
O centro é
Considere o conjunto
.
é um subespaço vetorial de
?
Seja
tal que
. Ache os vetores
tal que
Seja
tal que
. Ache os vetores
tal que