Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
A=[ll1 & 1 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autovetores da matriz 1 & 1 1 & 1 . Isso faz parte do estudo de autovalores e autovetores, que são ferramentas super úteis em várias áreas da matemática e ciências. Para resolver isso, vamos precisar usar o polinômio característico e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, a gente precisa calcular o determinante da matriz det(A - lambda I) = 0 , onde A - lambda I = 1 - lambda & 1 1 & 1 - lambda representa os autovalores e é a matriz identidade. Ou seja, a gente resolve a equação:
Onde:

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda) - (1 times 1) = (1 - lambda)^2 - 1
Desenvolvendo:
(1 - lambda)^2 - 1 = 1 - 2lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 2lambda
Então, temos a equação característica:
lambda^2 - 2lambda = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os autovalores lambda^2 - 2lambda = 0 lambda(lambda - 2) = 0 :
lambda1 = 0 e lambda2 = 2
Isso nos dá duas soluções:
Então, os autovalores são 0 e 2.

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada A - 0 cdot I = A = 1 & 1 1 & 1 1 & 1 1 & 1 v1 v2 = 0 0 , resolvemos v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = -v1 .
Para v1 = 1 -1 :
A - 2 cdot I = 1-2 & 1 1 & 1-2 = -1 & 1 1 & -1 -1 & 1 1 & -1 v1 v2 = 0 0
Isso nos dá a equação:
- v1 + v2 = 0 Rightarrow v2 = v1
Podemos escolher v2 = 1 1 , então o autovetor correspondente é:
Para :
Isso nos dá a equação:
Escolhendo , o autovetor correspondente é:

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 1 -1 para lambda1 = 0 são v2 = 1 1 para lambda2 = 2 e .
Os autovetores correspondentes são:

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