Seja
tal que
. Ache os vetores
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear
representada pela matriz
. O que a gente precisa fazer é encontrar os vetores
e
que, quando aplicamos a transformação
neles, o resultado é o próprio vetor. Em outras palavras,
e
. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente com vetores próprios (autovetores) e valores próprios (autovalores).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o vetor
é um vetor próprio da transformação
com valor próprio igual a 1. Em termos de matrizes, isso pode ser escrito como:
Para encontrar esses vetores
, podemos rearranjar a equação:
Aqui,
é a matriz identidade. Vamos calcular
:
Agora, temos o sistema de equações:
A segunda equação é sempre verdadeira, então vamos focar na primeira:
Isso nos diz que qualquer vetor da forma
é uma solução. Podemos escolher
para simplificar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar outro vetor
que também satisfaça
. Na verdade, como a matriz
tem posto 1, o espaço de soluções é um espaço unidimensional. Isso significa que todo vetor próprio associado ao valor próprio 1 é múltiplo escalar de
.
Então, podemos escolher
como qualquer múltiplo de
. Por exemplo, se escolhermos
, temos:
Resposta
Os vetores que satisfazem
são:
Exercícios relacionados
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Determine a equação reduzida da elipse onde:
O centro é , um dos vértices do eixo menor é
e a distância focal é 2 .
O centro é
Seja
tal que
. Ache os vetores
tal que
Use a definição de transformação linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função
dada pela fórmula
é uma transformação linear.