Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[rr-1 & -2 0 & 1]. Ache os vetores u, v tal que
T(u)=u

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear -1 & -2 0 & 1 representada pela matriz . O que a gente precisa fazer é encontrar os vetores e que, quando aplicamos a transformação neles, o resultado é o próprio vetor. Em outras palavras, e . Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de álgebra linear, especificamente com vetores próprios (autovetores) e valores próprios (autovalores).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa [T] cdot u = u . Isso quer dizer que o vetor ([T] - I) cdot u = 0 é um vetor próprio da transformação [T] - I = -1 & -2 0 & 1 - 1 & 0 0 & 1 = -2 & -2 0 & 0 com valor próprio igual a 1. Em termos de matrizes, isso pode ser escrito como:
-2u1 - 2u2 = 0 0u1 + 0u2 = 0
Para encontrar esses vetores -2u1 - 2u2 = 0 Rightarrow u1 = -u2 , podemos rearranjar a equação:
-u2 u2
Aqui, u = -1 1 é a matriz identidade. Vamos calcular :
Agora, temos o sistema de equações:
A segunda equação é sempre verdadeira, então vamos focar na primeira:
Isso nos diz que qualquer vetor da forma é uma solução. Podemos escolher para simplificar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar outro vetor v = -2 2 que também satisfaça . Na verdade, como a matriz tem posto 1, o espaço de soluções é um espaço unidimensional. Isso significa que todo vetor próprio associado ao valor próprio 1 é múltiplo escalar de .
Então, podemos escolher como qualquer múltiplo de . Por exemplo, se escolhermos , temos:

Resposta

Os vetores que satisfazem u = -1 1 e v = -2 2 são:

Exercícios relacionados

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
A=[ll1 & 1 1 & 1]
Determine a equação reduzida da elipse onde:
O centro é C=(-3,3), um dos vértices do eixo menor é D=(-2,3) e a distância focal é 2 .
Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[rr-1 & -2 0 & 1]. Ache os vetores u, v tal que
T(v)=-v
Use a definição de transformação linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função T: R^3 R^2 dada pela fórmula T(x1, x2, x3)= (2 x1-x2+x3, x2-4 x3) é uma transformação linear.