Use a definição de transformação linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função T: R^3 R^2 dada pela fórmula T(x1, x2, x3)= (2 x1-x2+x3, x2-4 x3) é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função T(x1, x2, x3) = (2x1 - x2 + x3, , x2 - 4x3), , definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que diz que uma função é linear se respeita duas propriedades principais: adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a adição de vetores. Isso significa que, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e em , a seguinte igualdade deve valer:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.

Passo 3

Calculando o lado esquerdo u + v = (u1 + v1, , u2 + v2, , u3 + v3), :
T(u + v) = (2(u1 + v1) - (u2 + v2) + (u3 + v3), , (u2 + v2) - 4(u3 + v3))
então,
T(u + v) = (2u1 + 2v1 - u2 - v2 + u3 + v3, , u2 + v2 - 4u3 - 4v3)
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculando o lado direito T(u) = (2u1 - u2 + u3, , u2 - 4u3), :
T(v) = (2v1 - v2 + v3, , v2 - 4v3)
T(u) + T(v) = ((2u1 - u2 + u3) + (2v1 - v2 + v3), , (u2 - 4u3) + (v2 - 4v3))
Somando esses resultados:
T(u) + T(v) = (2u1 + 2v1 - u2 - v2 + u3 + v3, , u2 + v2 - 4u3 - 4v3)
Simplificando:

Passo 5

Comparando os resultados dos lados esquerdo e direito:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Portanto, a função preserva a adição de vetores.

Passo 6

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer vetor T(cu) = cT(u) em e qualquer escalar , deve valer:
Vamos calcular cada lado.

Passo 7

Calculando o lado esquerdo cu = (cu1, , cu2, , cu3), :
T(cu) = (2(cu1) - (cu2) + (cu3), , (cu2) - 4(cu3))
então,
T(cu) = (c(2u1 - u2 + u3), , c(u2 - 4u3))
Simplificando:

Passo 8

Calculando o lado direito T(u) = (2u1 - u2 + u3, , u2 - 4u3), :
cT(u) = (c(2u1 - u2 + u3), , c(u2 - 4u3))
então,

Passo 9

Comparando os resultados dos lados esquerdo e direito:
T(cu) = cT(u)
Assim, a função preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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