Use a definição de transformação linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função
dada pela fórmula
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
, definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que diz que uma função é linear se respeita duas propriedades principais: adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a adição de vetores. Isso significa que, para quaisquer vetores
e
em
, a seguinte igualdade deve valer:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Passo 3
Calculando o lado esquerdo
:
então,
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculando o lado direito
:
Somando esses resultados:
Simplificando:
Passo 5
Comparando os resultados dos lados esquerdo e direito:
Portanto, a função
preserva a adição de vetores.
Passo 6
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Isso significa que, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, deve valer:
Vamos calcular cada lado.
Passo 7
Calculando o lado esquerdo
:
então,
Simplificando:
Passo 8
Calculando o lado direito
:
então,
Passo 9
Comparando os resultados dos lados esquerdo e direito:
Assim, a função
preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como
preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Seja
tal que
. Ache os vetores
tal que
Seja
tal que
. Ache os vetores
tal que
Determine os valores de
,
e
para que as matrizes
e
sejam iguais.
Use a definição de operador linear que foi dada nesta seção para mostrar que a função
dada pela fórmula
é um operador linear.