Seja tal que .
(b) Determine os autovetores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir os autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores, que são conceitos fundamentais na álgebra linear para analisar como a transformação age em certos vetores especiais.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovetores, precisamos determinar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, representa a matriz identidade de ordem 2. Vamos construir a matriz :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar os valores de , resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que ambas as equações são equivalentes e simplificam para:
Portanto, os autovetores são todos os múltiplos não nulos do vetor .
Para :
Substituímos na equação :
Isso nos dá o sistema de equações:
Novamente, ambas as equações são equivalentes e simplificam para:
Portanto, os autovetores são todos os múltiplos não nulos do vetor .

Resposta

Os autovetores de são todos os vetores não nulos da forma e .

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