Seja T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(2 x+3 y, 2 x+y).
(b) Determine os autovetores de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir os autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores, que são conceitos fundamentais na álgebra linear para analisar como a transformação age em certos vetores especiais.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovetores, precisamos determinar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de T - lambda I = 2 - lambda & 3 2 & 1 - lambda que satisfazem a equação característica:
det(T - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - (3 cdot 2) = lambda^2 - 3lambda - 4 = 0
Aqui, lambda^2 - 3lambda - 4 = 0 representa a matriz identidade de ordem 2. Vamos construir a matriz lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52 :
lambda1 = 4 e lambda2 = -1
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar os valores de , resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para 2 - 4 & 3 2 & 1 - 4 x y = -2 & 3 2 & -3 x y = 0 0 :
Substituímos -2x + 3y = 0 e 2x - 3y = 0 na equação y = 23x :
3 2
Isso nos dá o sistema de equações:
2 + 1 & 3 2 & 1 + 1 x y = 3 & 3 2 & 2 x y = 0 0
Resolvendo, vemos que ambas as equações são equivalentes e simplificam para:
3x + 3y = 0 e 2x + 2y = 0
Portanto, os autovetores são todos os múltiplos não nulos do vetor y = -x .
Para 1 -1 :
Substituímos na equação :
Isso nos dá o sistema de equações:
Novamente, ambas as equações são equivalentes e simplificam para:
Portanto, os autovetores são todos os múltiplos não nulos do vetor .

Resposta

Os autovetores de 3 2 são todos os vetores não nulos da forma 1 -1 e .

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