Seja
tal que
.
(b) Determine os autovetores de
.
(b) Determine os autovetores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir os autovetores dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores, que são conceitos fundamentais na álgebra linear para analisar como a transformação age em certos vetores especiais.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os autovetores, precisamos determinar os autovalores de
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
representa a matriz identidade de ordem 2. Vamos construir a matriz
:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Para encontrar os valores de
, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para
:
Substituímos
na equação
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que ambas as equações são equivalentes e simplificam para:
Portanto, os autovetores são todos os múltiplos não nulos do vetor
.
Para
:
Substituímos
na equação
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Novamente, ambas as equações são equivalentes e simplificam para:
Portanto, os autovetores são todos os múltiplos não nulos do vetor
.
Resposta
Os autovetores de
são todos os vetores não nulos da forma
e
.
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Seja
, onde
. Determine as condições necessárias e suficientes para que
seja diagonalizável.
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