Quais são as possíveis multiplicações de um autovetor por um escalar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre as possíveis multiplicações de um autovetor por um escalar. Isso está relacionado ao estudo de autovetores e autovalores na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autovetores, escalar e como eles interagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Em álgebra linear, um autovetor de uma matriz Av = lambda v é um vetor não nulo que, quando multiplicado pela matriz , resulta em um múltiplo escalar dele mesmo. Isso pode ser representado pela equação:
Aqui, é o autovalor associado ao autovetor .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a multiplicação de um autovetor por um escalar. Se pegarmos um autovetor A(kv) = kAv = k(lambda v) = lambda (kv) e multiplicarmos por um escalar , o resultado será . Vamos ver o que acontece quando aplicamos a matriz nesse vetor multiplicado:
Isso mostra que também é um autovetor de com o mesmo autovalor .

Passo 4

Portanto, as possíveis multiplicações de um autovetor por um escalar são todos os vetores que são múltiplos desse autovetor original. Ou seja, qualquer vetor da forma , onde é um escalar real, será também um autovetor de com o mesmo autovalor.

Resposta

As possíveis multiplicações de um autovetor por um escalar são todos os vetores da forma , onde é um escalar real qualquer.

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