Seja , onde . Determine as condições necessárias e suficientes para que seja diagonalizável.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que é a representação de uma transformação linear na base . A base é dada por:
O objetivo é determinar quais condições são necessárias e suficientes para que a matriz seja diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre diagonalização de matrizes e propriedades de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela puder ser escrita como:
onde é uma matriz diagonal e é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores de . Isso significa que tem um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.

Passo 3

Para uma matriz ser diagonalizável, ela precisa ter dois autovalores distintos ou, se tiver um único autovalor, este deve ter multiplicidade algébrica igual à multiplicidade geométrica (ou seja, deve haver dois autovetores associados a esse autovalor).

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores de . Para isso, calculamos o polinômio característico:
Para uma matriz genérica , o polinômio característico é:

Passo 5

Vamos aplicar isso à nossa matriz . Supondo que , o polinômio característico fica:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para que seja diagonalizável, precisamos que esse polinômio tenha duas soluções distintas. Isso acontece quando o discriminante ( ) é positivo:
Calculando o discriminante:
Para , devemos ter:
Como é sempre não negativo e pode ser positivo ou negativo, essa condição será satisfeita sempre que for positivo.

Passo 7

Se , a matriz terá um único autovalor com multiplicidade algébrica 2. Para que ainda seja diagonalizável nesse caso, a multiplicidade geométrica também deve ser 2, ou seja, deve haver dois autovetores distintos. Isso ocorre quando a matriz é essencialmente a identidade multiplicada por um escalar, mas no nosso caso não garante isso automaticamente, a não ser que os elementos da matriz atendam a condições específicas adicionais.

Resposta

A matriz é diagonalizável se, e somente se, o discriminante for maior que zero. Ou seja, as condições necessárias e suficientes para que seja diagonalizável são:

Exercícios relacionados

Seja tal que .
(b) Determine os autovetores de .
Qual é a importância dos autovalores e autovetores na diagonalização de um operador linear?
Considere como a base de formada pelos vetores e . Seja tal que
Determine onde é a base canônica de .