Seja
, onde
. Determine as condições necessárias e suficientes para que
seja diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
que é a representação de uma transformação linear
na base
. A base
é dada por:
O objetivo é determinar quais condições são necessárias e suficientes para que a matriz
seja diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre diagonalização de matrizes e propriedades de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se ela puder ser escrita como:
onde
é uma matriz diagonal e
é uma matriz invertível cujas colunas são os autovetores de
. Isso significa que
tem um conjunto completo de autovetores linearmente independentes.
Passo 3
Para uma matriz
ser diagonalizável, ela precisa ter dois autovalores distintos ou, se tiver um único autovalor, este deve ter multiplicidade algébrica igual à multiplicidade geométrica (ou seja, deve haver dois autovetores associados a esse autovalor).
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores de
. Para isso, calculamos o polinômio característico:
Para uma matriz
genérica
, o polinômio característico é:
Passo 5
Vamos aplicar isso à nossa matriz
. Supondo que
, o polinômio característico fica:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para que
seja diagonalizável, precisamos que esse polinômio tenha duas soluções distintas. Isso acontece quando o discriminante (
) é positivo:
Calculando o discriminante:
Para
, devemos ter:
Como
é sempre não negativo e
pode ser positivo ou negativo, essa condição será satisfeita sempre que
for positivo.
Passo 7
Se
, a matriz
terá um único autovalor com multiplicidade algébrica 2. Para que ainda seja diagonalizável nesse caso, a multiplicidade geométrica também deve ser 2, ou seja, deve haver dois autovetores distintos. Isso ocorre quando a matriz é essencialmente a identidade multiplicada por um escalar, mas no nosso caso
não garante isso automaticamente, a não ser que os elementos da matriz atendam a condições específicas adicionais.
Resposta
A matriz
é diagonalizável se, e somente se, o discriminante
for maior que zero. Ou seja, as condições necessárias e suficientes para que
seja diagonalizável são:
Exercícios relacionados
Seja
tal que
.
(b) Determine os autovetores de .
(b) Determine os autovetores de
Qual é a importância dos autovalores e autovetores na diagonalização de um operador linear?
Considere
como a base de
formada pelos vetores
e
. Seja
tal que
Determine
onde
é a base canônica de
.