Sejam S e T operadores lineares no R^2 definidas por S(x, y)=(x+2 y, y) e T(x, y)=(x, 3 y). Determine:
S circ T

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente tem dois operadores lineares, e , definidos em . O objetivo aqui é encontrar a composição desses operadores, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como aplicar cada operador e como compô-los.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de operadores. Quando a gente tem S circ T (x, y) = S(T(x, y)) , isso quer dizer que a gente vai aplicar o operador primeiro e depois o operador no resultado de . Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador T(x, y) = (x, 3y) no vetor . De acordo com a definição, temos:
Ou seja, o operador multiplica a segunda coordenada por 3, deixando a primeira igual.

Passo 4

Em seguida, vamos aplicar o operador S(T(x, y)) = S(x, 3y) = (x + 2 cdot 3y, 3y) no resultado que obtivemos de . Vamos substituir na expressão de :
Aqui, o operador adiciona duas vezes a segunda coordenada à primeira e mantém a segunda coordenada igual.

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão que encontramos:
(x + 2 cdot 3y, 3y) = (x + 6y, 3y)
Então, a composição transforma o vetor em .

Resposta

A composição dos operadores S circ T (x, y) = (x + 6y, 3y) é dada por:

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