Sejam
e
operadores lineares no
definidas por
e
. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A gente tem dois operadores lineares,
e
, definidos em
. O objetivo aqui é encontrar a composição desses operadores, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar cada operador e como compô-los.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de operadores. Quando a gente tem
, isso quer dizer que a gente vai aplicar o operador
primeiro e depois o operador
no resultado de
. Matemáticamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador
no vetor
. De acordo com a definição, temos:
Ou seja, o operador
multiplica a segunda coordenada por 3, deixando a primeira igual.
Passo 4
Em seguida, vamos aplicar o operador
no resultado que obtivemos de
. Vamos substituir
na expressão de
:
Aqui, o operador
adiciona duas vezes a segunda coordenada à primeira e mantém a segunda coordenada igual.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão que encontramos:
Então, a composição
transforma o vetor
em
.
Resposta
A composição dos operadores
é dada por: