Seja
uma transformaç ão linear dada por
. (a) Verifique se T é bijetora.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. O objetivo aqui é verificar se essa transformação
é bijetora. Para isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser bijetora, ou seja, ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como representar a transformação linear
em termos de matrizes. Uma transformação linear de
para
pode ser representada por uma matriz
2x2. No nosso caso, a matriz
que representa
é:
Passo 3
Para verificar se
é bijetora, precisamos verificar se a matriz
é inversível. Uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante é diferente de zero. O determinante de uma matriz 2x2
é calculado por
.
Passo 4
Vamos calcular o determinante da nossa matriz
:
Passo 5
Como o determinante de
é 19, que é diferente de zero (
), isso significa que a matriz
é inversível. Portanto, a transformação linear
é injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.
Resposta
A transformação linear
é bijetora porque o determinante da matriz associada é diferente de zero (
), o que garante que
é inversível.