Seja T: R^2 R^2 uma transformaç ão linear dada por T(x, y)=(5 x+y, x+4 y). (a) Verifique se T é bijetora.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . O objetivo aqui é verificar se essa transformação é bijetora. Para isso, precisamos entender o que significa uma transformação ser bijetora, ou seja, ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como representar a transformação linear A = 5 & 1 1 & 4 em termos de matrizes. Uma transformação linear de para pode ser representada por uma matriz 2x2. No nosso caso, a matriz que representa é:

Passo 3

Para verificar se a & b c & d é bijetora, precisamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante é diferente de zero. O determinante de uma matriz 2x2 é calculado por .

Passo 4

Vamos calcular o determinante da nossa matriz det(A) = (5)(4) - (1)(1) = 20 - 1 = 19 :

Passo 5

Como o determinante de é 19, que é diferente de zero ( ), isso significa que a matriz é inversível. Portanto, a transformação linear é injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.

Resposta

A transformação linear é bijetora porque o determinante da matriz associada é diferente de zero ( ), o que garante que é inversível.

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