Determine se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^3;
W=(x, y, z) in R^3 / x=y=z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar lembrar quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial e verificar se atende a todas elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero ( ) deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor do conjunto e multiplicar por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Verificando se x = y = z = 0 contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se esse vetor está em :
Sim, satisfaz a condição , então o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se u + v = (a + b, a + b, a + b) é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em . Suponha que eles sejam e , onde e são números reais.
Somando esses vetores:
Observe que ainda vale para , já que todas as componentes são iguais a . Portanto, a soma de dois vetores em também está em .

Passo 5

3. Verificando se k cdot u = (k c, k c, k c) é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em , digamos , e multiplicar por um escalar :
Aqui, também temos , o que satisfaz a condição . Assim, o vetor resultante está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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