Determine se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
;
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar lembrar quais são as condições para um conjunto ser um subespaço vetorial e verificar se
atende a todas elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as três condições que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um subespaço vetorial:
- Contém o vetor zero: O vetor zero (
) deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somá-los, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar qualquer vetor do conjunto e multiplicar por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se esse vetor está em
:
Sim,
satisfaz a condição
, então o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Suponha que eles sejam
e
, onde
e
são números reais.
Somando esses vetores:
Observe que
ainda vale para
, já que todas as componentes são iguais a
. Portanto, a soma de dois vetores em
também está em
.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, e multiplicar por um escalar
:
Aqui, também temos
, o que satisfaz a condição
. Assim, o vetor resultante está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.