Seja
uma transformaç ão linear dada por
. (b) Se T for bijetora, determine a inversa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. O exercício pede para, assumindo que
é bijetora (ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora), encontrar a inversa
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e como encontrar a inversa de uma matriz 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. Cada transformação linear de
para
pode ser associada a uma matriz 2x2. No nosso caso:
Aqui, a matriz
representa a transformação
.
Passo 3
Para encontrar a inversa
, precisamos encontrar a inversa da matriz
, ou seja,
. A inversa de uma matriz 2x2
é dada por:
Primeiro, vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero (
), sabemos que a matriz
é invertível, ou seja, a transformação
é bijetora.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da inversa, temos:
Isso nos dá a matriz inversa de
. Agora, para obter a transformação
, aplicamos essa matriz aos vetores da forma
.
Passo 5
Assim, a transformação inversa
é dada por:
Resposta
A inversa da transformação linear
é: