Seja T: R^2 R^2 uma transformaç ão linear dada por T(x, y)=(5 x+y, x+4 y). (b) Se T for bijetora, determine a inversa T^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O exercício pede para, assumindo que é bijetora (ou seja, tanto injetora quanto sobrejetora), encontrar a inversa . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e como encontrar a inversa de uma matriz 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 5 & 1 1 & 4 como uma matriz. Cada transformação linear de para pode ser associada a uma matriz 2x2. No nosso caso:
Aqui, a matriz representa a transformação .

Passo 3

Para encontrar a inversa a & b c & d , precisamos encontrar a inversa da matriz A^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , ou seja, det(A) = (5)(4) - (1)(1) = 20 - 1 = 19 . A inversa de uma matriz 2x2 é dada por:
Primeiro, vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero ( ), sabemos que a matriz é invertível, ou seja, a transformação é bijetora.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da inversa, temos:
A^-1 = 119 4 & -1 -1 & 5
Isso nos dá a matriz inversa de . Agora, para obter a transformação , aplicamos essa matriz aos vetores da forma .

Passo 5

Assim, a transformação inversa T^-1(x, y) = ( 4x - y19, -x + 5y19 ) é dada por:

Resposta

A inversa da transformação linear T^-1(x, y) = ( 4x - y19, -x + 5y19 ) é:

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