Seja uma transformação linear e um conjunto do , sendo e . Determinar , sabendo que e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre transformações lineares, que são funções que transformam vetores de um espaço para outro de maneira que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Aqui, temos uma transformação linear que leva vetores de para . A gente precisa descobrir qual é . Para isso, vamos usar um conjunto de vetores base no e as imagens desses vetores pela transformação .
Passo 2
Primeiro, a gente precisa expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que vamos encontrar escalares tais que:
Onde , e .
Passo 3
Vamos montar um sistema de equações para encontrar os valores de :
Resolvendo esse sistema:
Da terceira equação: a + 0 + 7 = 3 Rightarrow a = 3 - 7 = -4 .
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na segunda equação:
Então, encontramos , , .
Passo 4
Agora que temos os coeficientes, vamos usar a propriedade da linearidade da transformação T(a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3) = a cdot T(v1) + b cdot T(v2) + c cdot T(v3) . Isso significa que: