Seja T: R^3 R^2 uma transformação linear e B=v1, v2, v3 um conjunto do R^3, sendo v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0). Determinar T(5,3,-2), sabendo que T(v1)=(1,-2), T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre transformações lineares, que são funções que transformam vetores de um espaço para outro de maneira que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Aqui, temos uma transformação linear que leva vetores de para . A gente precisa descobrir qual é . Para isso, vamos usar um conjunto de vetores base no e as imagens desses vetores pela transformação .

Passo 2

Primeiro, a gente precisa expressar o vetor (5,3,-2) = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa que vamos encontrar escalares tais que:
Onde , e .

Passo 3

Vamos montar um sistema de equações para encontrar os valores de 0a + 1b + 1c = 5 1a + 0b + 1c = 3 0a + 1b + 0c = -2 :
0a + (-2) + c = 5 Rightarrow c = 5 + 2 = 7
Resolvendo esse sistema:
Da terceira equação: a + 0 + 7 = 3 Rightarrow a = 3 - 7 = -4 .
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo na segunda equação:
Então, encontramos , , .

Passo 4

Agora que temos os coeficientes, vamos usar a propriedade da linearidade da transformação T(a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3) = a cdot T(v1) + b cdot T(v2) + c cdot T(v3) . Isso significa que:
T(5,3,-2) = (-4) cdot (1,-2) + (-2) cdot (3,1) + 7 cdot (0,2)
Substituindo os valores que temos:

Resposta

Calculando cada parte:
-4 cdot (1,-2) &= (-4, 8) -2 cdot (3,1) &= (-6, -2) 7 cdot (0,2) &= (0, 14)
Somando tudo:
(-4, 8) + (-6, -2) + (0, 14) = (-10, 20)
Então, .

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