Para que valores reais de x a matriz A=[ccc1 & x-3 & 4 3 & 0 & -x -2 x & 4 & -8] é inversível?

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz quadrada de ordem 3, que depende de um valor real . A questão é descobrir para quais valores de essa matriz é inversível. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz, já que uma matriz é inversível se e somente se seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula geral é:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i é:

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa matriz A = 1 & x-3 & 4 3 & 0 & -x -2x & 4 & -8 :
Identificamos os elementos:

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do determinante:
det(A) = 1 cdot (0 cdot (-8) - (-x) cdot 4) - (x-3) cdot (3 cdot (-8) - (-x) cdot (-2x)) + 4 cdot (3 cdot 4 - 0 cdot (-2x))
Vamos simplificar cada parte:
  1. det(A) = 1 cdot (0 - (-4x)) - (x-3) cdot (-24 - 2x^2) + 4 cdot (12 - 0)
  2. det(A) = 1 cdot 4x - (x-3) cdot (-24 - 2x^2) + 4 cdot 12
Substituindo:

Passo 5

Vamos continuar simplificando:
det(A) = 4x + (x-3)(24 + 2x^2) + 48
Distribuindo = 4x + x cdot 24 + x cdot 2x^2 - 3 cdot 24 - 3 cdot 2x^2 + 48 :
= 4x + 24x + 2x^3 - 72 - 6x^2 + 48
2x^3 - 6x^2 + 28x - 24
Agora, combinando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, temos a expressão do determinante:
det(A) = 2x^3 - 6x^2 + 28x - 24
Para a matriz 2x^3 - 6x^2 + 28x - 24 neq 0 ser inversível, precisamos que . Então, vamos resolver a equação:

Passo 7

Primeiro, podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
x^3 - 3x^2 + 14x - 12 neq 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação para saber onde o determinante é zero.

Passo 8

Testando possíveis raízes racionais usando o teorema das raízes racionais, percebemos que 1^3 - 3(1)^2 + 14(1) - 12 = 1 - 3 + 14 - 12 = 0 é uma raiz, pois:
Então, é um fator da equação.

Passo 9

Fazendo a divisão polinomial, dividimos (x^3 - 3x^2 + 14x - 12) = (x - 1)(x^2 - 2x + 12) por x = 2 pm raiz4 - 482 = 2 pm raiz-442 :
Agora, resolvemos :
Como as soluções são complexas, a única raiz real é .

Resposta

A matriz é inversível para todos os valores reais de , exceto .

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