Seja V=Pn(R), o espaço vetorial dos polinômios de grau n, com coeficientes reais. Verifique se o conjunto S=p(t), p(t)+p(t)=0 é ou não subespaço vetorial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até com coeficientes reais. A questão quer saber se o conjunto é um subespaço vetorial desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o conjunto . A condição significa que . Como estamos trabalhando com polinômios com coeficientes reais, isso só é possível se . Então, na real, é só o conjunto que contém o polinômio zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Vamos verificar essas condições para :
  1. Contém o vetor zero: Sim, contém apenas o polinômio zero.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois elementos de , que só é o zero, a soma é zero, que também está em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Multiplicar o zero por qualquer escalar dá zero, que está em .

Passo 5

Tudo certinho! Como satisfaz as três condições para ser um subespaço vetorial, concluímos que sim, é um subespaço vetorial de .

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de .

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