Seja o operador linear no definido por .
Encontre a matriz de na base .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido no espaço tridimensional por
Nos pedem para encontrar a matriz de em relação a uma base específica . Isso significa que queremos representar a transformação linear usando os vetores dessa base.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em uma base específica, devemos aplicar o operador a cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base .
Ou seja, para cada vetor em , calculamos e encontramos os coeficientes , , tais que:
Esses coeficientes irão compor as colunas da matriz de na base .
Passo 3
Vamos identificar os vetores da base :
Agora, vamos calcular , e .
Passo 4
Calculando :
Agora, queremos expressar como combinação dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e .
Passo 5
Portanto, a primeira coluna da matriz de -3 3 2 na base é: