Seja T o operador linear no R^3 definido por T(x, y, z)=(2 y+z, x-4 y, 3 x).
Encontre a matriz de T na base B=(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear T(x, y, z) = (2y + z, , x - 4y, , 3x) definido no espaço tridimensional por
Nos pedem para encontrar a matriz de em relação a uma base específica . Isso significa que queremos representar a transformação linear usando os vetores dessa base.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em uma base específica, devemos aplicar o operador a cada vetor da base e expressar o resultado como uma combinação linear dos vetores da base T(bi) = a1ib1 + a2ib2 + a3ib3 .
Ou seja, para cada vetor em , calculamos e encontramos os coeficientes , , tais que:
Esses coeficientes irão compor as colunas da matriz de na base .

Passo 3

Vamos identificar os vetores da base b1 = (1,1,0), b2 = (1,0,1), b3 = (1,0,0) :
Agora, vamos calcular , e .

Passo 4

Calculando T(1,1,0) = (2 cdot 1 + 0, , 1 - 4 cdot 1, , 3 cdot 1) = (2, , -3, , 3) :
(2, -3, 3) = a11(1,1,0) + a21(1,0,1) + a31(1,0,0)
Agora, queremos expressar a11 + a21 + a31 = 2, a11 = -3, a21 = 3 como combinação dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e .

Passo 5

Portanto, a primeira coluna da matriz de -3 3 2 na base é:

Passo 6

Agora, calculamos T(1,0,1) = (2 cdot 0 + 1, , 1 - 4 cdot 0, , 3 cdot 1) = (1, , 1, , 3) :
(1, 1, 3) = a12(1,1,0) + a22(1,0,1) + a32(1,0,0)
Expressando a12 + a22 + a32 = 1, a12 = 1, a22 = 3 como combinação dos vetores da base :
Isso nos dá:
Resolvendo, temos , e .

Passo 7

Assim, a segunda coluna da matriz de 1 3 -3 na base é:

Passo 8

Por fim, calculamos T(1,0,0) = (2 cdot 0 + 0, , 1 - 4 cdot 0, , 3 cdot 1) = (0, , 1, , 3) :
(0, 1, 3) = a13(1,1,0) + a23(1,0,1) + a33(1,0,0)
Expressando a13 + a23 + a33 = 0, a13 = 1, a23 = 3 como combinação dos vetores da base :
O sistema de equações fica:
Resolvendo, encontramos , e .

Passo 9

Portanto, a terceira coluna da matriz de 1 3 -4 na base é:

Resposta

A matriz de -3 & 1 & 1 3 & 3 & 3 2 & -3 & -4 na base é

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