Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+z, x-y, y)
Mostre que T é um isomorfismo, e determine:
© T^-2(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . A tarefa é mostrar que essa transformação é um isomorfismo e, mais especificamente, determinar . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, isomorfismos e como encontrar a inversa de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora e sobrejetora. Isso também significa que existe uma transformação inversa que desfaz o que faz.

Passo 3

Para mostrar que é um isomorfismo, podemos verificar se a matriz que representa é invertível. Se a matriz tiver determinante diferente de zero, então é invertível e, portanto, um isomorfismo.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz de A = 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 . A transformação pode ser representada pela matriz:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (-1 cdot 0 - 0 cdot 1) - 0 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) = 1 cdot 0 - 0 cdot 0 + 1 cdot 1 = 1 :
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.

Passo 6

Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar a inversa . Para isso, vamos calcular a inversa da matriz .

Passo 7

A matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) de é dada por:
Como , a inversa será simplesmente a adjunta de .

Passo 8

Calculando a adjunta de adj(A) = (-1)(0) - (0)(1) & -[1 cdot 0 - 0 cdot 1] & 1 cdot 1 - (-1) cdot 0 -[1 cdot 0 - 0 cdot 1] & 1 cdot 0 - 0 cdot 1 & -[1 cdot 1 - (-1) cdot 0] 1 cdot 1 - (-1) cdot 0 & -[1 cdot 1 - 1 cdot 0] & 1 cdot (-1) - 1 cdot 1 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 1 & -1 & -2 :
A^-1 = adj(A) = 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 1 & -1 & -2
Então,

Passo 9

Portanto, a transformação inversa T^-1(x, y, z) = (z, -z, x - y - 2z) é dada por:

Passo 10

Agora, para encontrar T^-2(x, y, z) = T^-1(z, -z, x - y - 2z) = (x - y - 2z, -(x - y - 2z), z - (x - y - 2z) - 2(x - y - 2z)) , que é a aplicação da inversa duas vezes, ou seja, T^-2(x, y, z) = (x - y - 2z, -x + y + 2z, -3x + 3y + 5z) .
Aplicando novamente:
Simplificando:

Resposta

T^-2(x, y, z) = (x - y - 2z,; -x + y + 2z,; -3x + 3y + 5z)

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