Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . A tarefa é mostrar que essa transformação é um isomorfismo e, mais especificamente, determinar . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, isomorfismos e como encontrar a inversa de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora e sobrejetora. Isso também significa que existe uma transformação inversa que desfaz o que faz.
Passo 3
Para mostrar que é um isomorfismo, podemos verificar se a matriz que representa é invertível. Se a matriz tiver determinante diferente de zero, então é invertível e, portanto, um isomorfismo.
Passo 4
Vamos encontrar a matriz de . A transformação pode ser representada pela matriz:
Portanto, a transformação inversa T^-1(x, y, z) = (z, -z, x - y - 2z) é dada por:
Passo 10
Agora, para encontrar T^-2(x, y, z) = T^-1(z, -z, x - y - 2z) = (x - y - 2z, -(x - y - 2z), z - (x - y - 2z) - 2(x - y - 2z)) , que é a aplicação da inversa duas vezes, ou seja, T^-2(x, y, z) = (x - y - 2z, -x + y + 2z, -3x + 3y + 5z) .
Aplicando novamente:
Simplificando:
Resposta
T^-2(x, y, z) = (x - y - 2z,; -x + y + 2z,; -3x + 3y + 5z)