Seja a transformação linear definida por
Mostre que é um isomorfismo, e determine:
© .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . A tarefa é mostrar que essa transformação é um isomorfismo e, mais especificamente, determinar . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, isomorfismos e como encontrar a inversa de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora e sobrejetora. Isso também significa que existe uma transformação inversa que desfaz o que faz.

Passo 3

Para mostrar que é um isomorfismo, podemos verificar se a matriz que representa é invertível. Se a matriz tiver determinante diferente de zero, então é invertível e, portanto, um isomorfismo.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz de . A transformação pode ser representada pela matriz:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.

Passo 6

Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar a inversa . Para isso, vamos calcular a inversa da matriz .

Passo 7

A matriz inversa de é dada por:
Como , a inversa será simplesmente a adjunta de .

Passo 8

Calculando a adjunta de :
Então,

Passo 9

Portanto, a transformação inversa é dada por:

Passo 10

Agora, para encontrar , que é a aplicação da inversa duas vezes, ou seja, .
Aplicando novamente:
Simplificando:

Resposta

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Por um ponto (A), trace uma reta (A)(B) paralela ao plano ( ), o qual contém o ponto (T). Considere:
(T) ;
(A) ;
(B) ;

O plano é definido por seus traços. Determine as projeções da reta do plano. Considere:
(T)
(U)

.
Considere o plano ( ) dado pelos traços e , e ao qual o ponto (T) pertence. Ele tem uma interseção com o plano ( ), o qual é dado pela reta de máximo declive definida pelos pontos (A) e (B). Determine a reta interseção (i) entre os dois planos. Considere:
(A) ;
(B) ;
(Т) ;
; e
.
Determine as projeções de um ponto (A) situado em um plano de topo ( ) que contém o ponto , considerando:
(T) ;
(A) ;