Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . A tarefa é mostrar que essa transformação é um isomorfismo e, mais especificamente, determinar . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre transformações lineares, isomorfismos e como encontrar a inversa de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora e sobrejetora. Isso também significa que existe uma transformação inversa que desfaz o que faz.
Passo 3
Para mostrar que é um isomorfismo, podemos verificar se a matriz que representa é invertível. Se a matriz tiver determinante diferente de zero, então é invertível e, portanto, um isomorfismo.
Passo 4
Vamos encontrar a matriz de . A transformação pode ser representada pela matriz:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz é invertível. Portanto, é um isomorfismo.
Passo 6
Agora que sabemos que é invertível, vamos encontrar a inversa . Para isso, vamos calcular a inversa da matriz .
Passo 7
A matriz inversa de é dada por:
Como , a inversa será simplesmente a adjunta de .
Passo 8
Calculando a adjunta de :
Então,
Passo 9
Portanto, a transformação inversa é dada por:
Passo 10
Agora, para encontrar , que é a aplicação da inversa duas vezes, ou seja, .