Considere o plano ( ) dado pelos traços e , e ao qual o ponto (T) pertence. Ele tem uma interseção com o plano ( ), o qual é dado pela reta de máximo declive definida pelos pontos (A) e (B). Determine a reta interseção (i) entre os dois planos. Considere:
(A) ;
(B) ;
(Т) ;
; e
.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com geometria espacial, especificamente com planos e suas interseções. Temos dois planos: o plano (α) que passa pelo ponto T e tem dois traços com ângulos específicos, e o plano (σ) que é definido pela reta de máximo declive entre os pontos A e B. Nosso objetivo é encontrar a reta de interseção (i) entre esses dois planos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria de vetores e equações de planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação do plano (α). Sabemos que esse plano tem dois traços com ângulos de e . Esses ângulos geralmente se referem aos ângulos que os traços fazem com os eixos. Vamos supor que sejam os traços nos eixos x e y. Usando a fórmula da equação do plano na forma intercepta:
Mas como temos os ângulos, podemos relacionar com as inclinações dos traços.

Passo 3

Agora, vamos identificar a reta de máximo declive no plano (σ), que é definida pelos pontos A e B. Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta AB:
Esse vetor será usado para definir a direção da reta.

Passo 4

Com o vetor diretor, podemos escrever a equação paramétrica da reta AB:
Isso define o plano (σ) como aquele que contém a reta AB e tem uma inclinação máxima, implicando que o vetor diretor é paralelo à máxima inclinação.

Passo 5

Para encontrar a reta de interseção (i) entre os planos (α) e (σ), precisamos resolver o sistema das equações dos dois planos. Vamos supor que já tenhamos as equações dos planos:
Plano (α):
Plano (σ):
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de x, y e z que satisfazem ambas as equações simultaneamente, o que nos dá a reta de interseção.

Resposta

A reta de interseção (i) entre os planos (α) e (σ) é dada por:
onde é um parâmetro real.

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear definida por
Mostre que é um isomorfismo, e determine:
© .
Por um ponto (A), trace uma reta (A)(B) paralela ao plano ( ), o qual contém o ponto (T). Considere:
(T) ;
(A) ;
(B) ;

Determine as projeções de um ponto (A) situado em um plano de topo ( ) que contém o ponto , considerando:
(T) ;
(A) ;
Dado um plano paralelo à linha de terra, construa as projeções da reta do plano, sabendo que:
(M)
(N)
Cota de
Afastamento de .