Considere o plano ( ) dado pelos traços e , e ao qual o ponto (T) pertence. Ele tem uma interseção com o plano ( ), o qual é dado pela reta de máximo declive definida pelos pontos (A) e (B). Determine a reta interseção (i) entre os dois planos. Considere:
(A) ;
(B) ;
(Т) ; ; e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com geometria espacial, especificamente com planos e suas interseções. Temos dois planos: o plano (α) que passa pelo ponto T e tem dois traços com ângulos específicos, e o plano (σ) que é definido pela reta de máximo declive entre os pontos A e B. Nosso objetivo é encontrar a reta de interseção (i) entre esses dois planos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria de vetores e equações de planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação do plano (α). Sabemos que esse plano tem dois traços com ângulos de e . Esses ângulos geralmente se referem aos ângulos que os traços fazem com os eixos. Vamos supor que sejam os traços nos eixos x e y. Usando a fórmula da equação do plano na forma intercepta:
Mas como temos os ângulos, podemos relacionar com as inclinações dos traços.
Passo 3
Agora, vamos identificar a reta de máximo declive no plano (σ), que é definida pelos pontos A e B. Primeiro, encontramos o vetor diretor da reta AB:
Esse vetor será usado para definir a direção da reta.
Passo 4
Com o vetor diretor, podemos escrever a equação paramétrica da reta AB:
Isso define o plano (σ) como aquele que contém a reta AB e tem uma inclinação máxima, implicando que o vetor diretor é paralelo à máxima inclinação.
Passo 5
Para encontrar a reta de interseção (i) entre os planos (α) e (σ), precisamos resolver o sistema das equações dos dois planos. Vamos supor que já tenhamos as equações dos planos:
Plano (α):
Plano (σ):
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de x, y e z que satisfazem ambas as equações simultaneamente, o que nos dá a reta de interseção.
Resposta
A reta de interseção (i) entre os planos (α) e (σ) é dada por: