Determine as projeções de um ponto (A) situado em um plano de topo (
) que contém o ponto
, considerando:
(T)
;
(A)
;
(T)
(A)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um ponto A com coordenadas
e um ponto T na origem
. Ambos estão em um plano chamado
, que faz um ângulo de
com algum referencial. Nosso objetivo aqui é encontrar as projeções desse ponto A no plano
.
Aqui, vamos usar conceitos de projeção em geometria espacial, especificamente projeção ortogonal em um plano. Vamos precisar entender como funciona a projeção de um ponto em um plano e utilizar trigonometria para calcular a coordenada que falta em A.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Imagine que você tem um ponto no espaço e quer “projetá-lo” diretamente sobre um plano, como se estivesse lançando uma sombra perpendicularmente ao plano. A projeção ortogonal é justamente isso: a sombra do ponto no plano, onde a linha que liga o ponto à projeção é perpendicular ao plano.
No nosso caso, queremos a projeção do ponto A no plano
. Para isso, precisamos saber a direção perpendicular ao plano
. Sabemos que o ângulo
define a inclinação do plano em relação a algum eixo de referência, provavelmente o eixo z.
Passo 3
Vamos assumir que o ângulo
está relacionado à inclinação do plano
em relação ao eixo z. A inclinação do plano afeta como as coordenadas são projetadas. Para simplificar, vamos considerar que o plano
está inclinado em
em relação ao eixo z.
A projeção ortogonal de A no plano
mantém as coordenadas x e y do ponto A, mas ajusta a coordenada z para que a linha entre A e sua projeção seja perpendicular ao plano.
Passo 4
Vamos usar a seguinte relação para a projeção ortogonal:
Onde:
-
é a coordenada z da projeção. -
é a coordenada z original de A (que é desconhecida). -
é a distância do ponto A ao plano . -
é o ângulo de inclinação do plano, que neste caso é .
Como o ponto T está no plano e com coordenadas
, podemos calcular a distância
usando a posição de A.
Passo 5
Sabemos que a distância de um ponto ao plano pode ser calculada usando a fórmula:
Mas como temos T no plano e sabemos que T é
, podemos simplificar a equação do plano
. Considerando que o plano passa pela origem, a equação fica:
Com o ângulo de inclinação
, podemos relacionar os coeficientes A, B e C com esse ângulo usando trigonometria.
Passo 6
Vamos assumir que o plano
está inclinado em relação ao eixo z de
. Isso significa que a normal do plano faz um ângulo de
com o eixo z positivo.
A normal do plano pode ser representada por um vetor
. O ângulo
entre
e o eixo z é dado por:
Substituindo
:
Podemos escolher
,
para simplificar, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a equação do plano é:
Passo 7
Agora, usando a equação do plano
, vamos encontrar a projeção de A
no plano.
A projeção ortogonal manterá as coordenadas x e y, mas ajustará z para que A projetado esteja no plano.
Substituindo
na equação do plano:
Então, a coordenada z da projeção é
.
Resposta
A projeção do ponto
no plano
é
.
Exercícios relacionados
Considere o plano (
) dado pelos traços
e
, e ao qual o ponto (T) pertence. Ele tem uma interseção com o plano (
), o qual é dado pela reta de máximo declive definida pelos pontos (A) e (B). Determine a reta interseção (i) entre os dois planos. Considere:
(A) ;
(B) ;
(Т) ;
; e
.
(A)
(B)
(Т)
Seja
a transformação linear definida por
Mostre que
é um isomorfismo, e determine:
© .
©
Dado um plano
paralelo à linha de terra, construa as projeções da reta
do plano, sabendo que:
(M)
(N)
Cota de
Afastamento de .
(M)
(N)
Cota de
Afastamento de
Determine as projeções de uma reta de máxima inclinação de um plano definido por duas retas paralelas
e
, sem determinar os traços do plano. Considere:
(A)
(B) ;
© ; e
(D) .
(A)
(B)
©
(D)