Determine as projeções de um ponto (A) situado em um plano de topo ( ) que contém o ponto , considerando:
(T) ;
(A) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um ponto A com coordenadas e um ponto T na origem . Ambos estão em um plano chamado , que faz um ângulo de com algum referencial. Nosso objetivo aqui é encontrar as projeções desse ponto A no plano .
Aqui, vamos usar conceitos de projeção em geometria espacial, especificamente projeção ortogonal em um plano. Vamos precisar entender como funciona a projeção de um ponto em um plano e utilizar trigonometria para calcular a coordenada que falta em A.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma projeção ortogonal. Imagine que você tem um ponto no espaço e quer “projetá-lo” diretamente sobre um plano, como se estivesse lançando uma sombra perpendicularmente ao plano. A projeção ortogonal é justamente isso: a sombra do ponto no plano, onde a linha que liga o ponto à projeção é perpendicular ao plano.
No nosso caso, queremos a projeção do ponto A no plano . Para isso, precisamos saber a direção perpendicular ao plano . Sabemos que o ângulo define a inclinação do plano em relação a algum eixo de referência, provavelmente o eixo z.

Passo 3

Vamos assumir que o ângulo está relacionado à inclinação do plano em relação ao eixo z. A inclinação do plano afeta como as coordenadas são projetadas. Para simplificar, vamos considerar que o plano está inclinado em em relação ao eixo z.
A projeção ortogonal de A no plano mantém as coordenadas x e y do ponto A, mas ajusta a coordenada z para que a linha entre A e sua projeção seja perpendicular ao plano.

Passo 4

Vamos usar a seguinte relação para a projeção ortogonal:
Onde:
  • é a coordenada z da projeção.
  • é a coordenada z original de A (que é desconhecida).
  • é a distância do ponto A ao plano .
  • é o ângulo de inclinação do plano, que neste caso é .
Como o ponto T está no plano e com coordenadas , podemos calcular a distância usando a posição de A.

Passo 5

Sabemos que a distância de um ponto ao plano pode ser calculada usando a fórmula:
Mas como temos T no plano e sabemos que T é , podemos simplificar a equação do plano . Considerando que o plano passa pela origem, a equação fica:
Com o ângulo de inclinação , podemos relacionar os coeficientes A, B e C com esse ângulo usando trigonometria.

Passo 6

Vamos assumir que o plano está inclinado em relação ao eixo z de . Isso significa que a normal do plano faz um ângulo de com o eixo z positivo.
A normal do plano pode ser representada por um vetor . O ângulo entre e o eixo z é dado por:
Substituindo :
Podemos escolher , para simplificar, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Então, a equação do plano é:

Passo 7

Agora, usando a equação do plano , vamos encontrar a projeção de A no plano.
A projeção ortogonal manterá as coordenadas x e y, mas ajustará z para que A projetado esteja no plano.
Substituindo na equação do plano:
Então, a coordenada z da projeção é .

Resposta

A projeção do ponto no plano é .

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(A) ;
(B) ;
(Т) ;
; e
.
Seja a transformação linear definida por
Mostre que é um isomorfismo, e determine:
© .
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(M)
(N)
Cota de
Afastamento de .
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(A)
(B) ;
© ; e
(D) .