Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que mapeia para e nos dá um paralelepípedo com volume 5. A gente precisa descobrir como o volume desse paralelepípedo muda quando aplicamos a transformação . Para isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber como as transformações lineares afetam volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação na forma de uma matriz. A transformação dada é:
Podemos representar isso pela matriz:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 4 times 17 times 1 = 47 . Como é uma matriz triangular (ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
O determinante nos diz o fator pelo qual o volume será escalado quando aplicamos a transformação .
Passo 4
Sabemos que o volume original do paralelepípedo Volume de T(Q) = |det(A)| times Volume de Q = 47 times 5 = 207 approx 2,857 é 5. Para encontrar o volume transformado , multiplicamos o volume original pelo valor absoluto do determinante:
Isso mostra que o volume diminuiu após a transformação.
Resposta
A transformação é menor do que o volume de . Portanto, a resposta correta é a alternativa (B) é menor do que o volume de .