Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(4 x-8 y+6 z, y7-9 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 5 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© é igual ao volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que mapeia para e nos dá um paralelepípedo com volume 5. A gente precisa descobrir como o volume desse paralelepípedo muda quando aplicamos a transformação . Para isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber como as transformações lineares afetam volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação T(x, y, z) = (4x - 8y + 6z, y7 - 9z, z) na forma de uma matriz. A transformação dada é:
A = 4 & -8 & 6 0 & 17 & -9 0 & 0 & 1
Podemos representar isso pela matriz:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 4 times 17 times 1 = 47 . Como é uma matriz triangular (ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal:
O determinante nos diz o fator pelo qual o volume será escalado quando aplicamos a transformação .

Passo 4

Sabemos que o volume original do paralelepípedo Volume de T(Q) = |det(A)| times Volume de Q = 47 times 5 = 207 approx 2,857 é 5. Para encontrar o volume transformado , multiplicamos o volume original pelo valor absoluto do determinante:
Isso mostra que o volume diminuiu após a transformação.

Resposta

A transformação é menor do que o volume de . Portanto, a resposta correta é a alternativa (B) é menor do que o volume de .

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II - Se B: R^9 R^9 possui 9 autovalores reais distintos, então B é simétrica.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
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