Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(1, 2,3) e v=(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v. Isso tá ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre projeções de vetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da projeção e fazer alguns cálculos com os componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a projeção de u sobre v:
projv,u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = 1 times 1 + 2 times 1 + 3 times 1 = 1 + 2 + 3 = 6

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar v cdot v:
v cdot v = 1 times 1 + 1 times 1 + 1 times 1 = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 5

Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
projv,u = ( 63 ) v = 2 v

Passo 6

Por fim, multiplicamos 2 pelo vetor v:
2 v = 2 times (1, 1, 1) = (2, 2, 2)

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é (2, 2, 2).

Exercícios relacionados

Considere as afirmativas abaixo:
I - Se M: R^5 R^5 e M=M^T, então M possui 5 autovalores reais distintos.
II - Se B: R^9 R^9 possui 9 autovalores reais distintos, então B é simétrica.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(4 x-8 y+6 z, y7-9 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 5 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© é igual ao volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
(E) Não sei
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se R: R^69 R^69 possui como polinômio característico pc^R(x)=(x-6)^31(x+6)^38 e autovalor 6 com multiplicidade geométrica 31 , então R é diagonalizável.
II - Se B é 48 times 48, então B possui autovetor v in R^48.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei
A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr 35 & -20 & 20 4 & 35 & 28 -28 & -20 & 29 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) 34
(B) -34
© -35
(D) 35
(E) -12
(F) 12
(G) -45
(H) 45
(I) Não sei