Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(1, 2,3) e v=(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a projeção ortogonal do vetor u sobre o vetor v. Isso tá ligado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre projeções de vetores. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da projeção e fazer alguns cálculos com os componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a projeção de u sobre v:
projv,u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = 1 times 1 + 2 times 1 + 3 times 1 = 1 + 2 + 3 = 6

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar v cdot v:
v cdot v = 1 times 1 + 1 times 1 + 1 times 1 = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 5

Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
projv,u = ( 63 ) v = 2 v

Passo 6

Por fim, multiplicamos 2 pelo vetor v:
2 v = 2 times (1, 1, 1) = (2, 2, 2)

Resposta

A projeção ortogonal de u sobre v é (2, 2, 2).

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