Considere as afirmativas abaixo:
I - Se M: R^5 R^5 e M=M^T, então M possui 5 autovalores reais distintos.
II - Se B: R^9 R^9 possui 9 autovalores reais distintos, então B é simétrica.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que fala sobre autovalores e matrizes simétricas. Precisamos analisar duas afirmações sobre transformações lineares e determinar quais são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, matrizes simétricas e a teorema espectral.

Passo 2

Afirmação I: Se e , então possui 5 autovalores reais distintos.
Aqui, significa que é uma matriz simétrica. Segundo o teorema espectral, toda matriz simétrica tem autovalores reais e é diagonalizável. Porém, ter autovalores distintos é uma condição extra.
Embora tenha 5 autovalores reais, não é garantido que todos sejam diferentes. Uma matriz simétrica pode ter autovalores repetidos. Portanto, a afirmação de que possui 5 autovalores reais distintos não é necessariamente verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se possui 9 autovalores reais distintos, então é simétrica.
Ter 9 autovalores reais distintos garante que a matriz é diagonalizável, pois cada autovalor corresponde a um autovetor linearmente independente. Porém, ser simétrica é uma condição mais forte.
Nem toda matriz diagonalizável com autovalores reais é simétrica. A simetria implica que a matriz pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal, mas existem matrizes diagonalizáveis que não são simétricas. Portanto, a afirmação de que é simétrica não é necessariamente verdadeira.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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