Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
e
, então
possui 5 autovalores reais distintos.
II - Se
possui 9 autovalores reais distintos, então
é simétrica.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
Vamos resolver esse exercício que fala sobre autovalores e matrizes simétricas. Precisamos analisar duas afirmações sobre transformações lineares e determinar quais são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, matrizes simétricas e a teorema espectral.
Passo 2
Afirmação I: Se
e
, então
possui 5 autovalores reais distintos.
Aqui,
significa que
é uma matriz simétrica. Segundo o teorema espectral, toda matriz simétrica tem autovalores reais e é diagonalizável. Porém, ter autovalores distintos é uma condição extra.
Embora
tenha 5 autovalores reais, não é garantido que todos sejam diferentes. Uma matriz simétrica pode ter autovalores repetidos. Portanto, a afirmação de que
possui 5 autovalores reais distintos não é necessariamente verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se
possui 9 autovalores reais distintos, então
é simétrica.
Ter 9 autovalores reais distintos garante que a matriz
é diagonalizável, pois cada autovalor corresponde a um autovetor linearmente independente. Porém, ser simétrica é uma condição mais forte.
Nem toda matriz diagonalizável com autovalores reais é simétrica. A simetria implica que a matriz pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal, mas existem matrizes diagonalizáveis que não são simétricas. Portanto, a afirmação de que
é simétrica não é necessariamente verdadeira.
Resposta
(A) Todas são falsas.