Considere as afirmativas abaixo:
I - Se M: R^5 R^5 e M=M^T, então M possui 5 autovalores reais distintos.
II - Se B: R^9 R^9 possui 9 autovalores reais distintos, então B é simétrica.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que fala sobre autovalores e matrizes simétricas. Precisamos analisar duas afirmações sobre transformações lineares e determinar quais são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, matrizes simétricas e a teorema espectral.

Passo 2

Afirmação I: Se e , então possui 5 autovalores reais distintos.
Aqui, significa que é uma matriz simétrica. Segundo o teorema espectral, toda matriz simétrica tem autovalores reais e é diagonalizável. Porém, ter autovalores distintos é uma condição extra.
Embora tenha 5 autovalores reais, não é garantido que todos sejam diferentes. Uma matriz simétrica pode ter autovalores repetidos. Portanto, a afirmação de que possui 5 autovalores reais distintos não é necessariamente verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se possui 9 autovalores reais distintos, então é simétrica.
Ter 9 autovalores reais distintos garante que a matriz é diagonalizável, pois cada autovalor corresponde a um autovetor linearmente independente. Porém, ser simétrica é uma condição mais forte.
Nem toda matriz diagonalizável com autovalores reais é simétrica. A simetria implica que a matriz pode ser diagonalizada por uma matriz ortogonal, mas existem matrizes diagonalizáveis que não são simétricas. Portanto, a afirmação de que é simétrica não é necessariamente verdadeira.

Resposta

(A) Todas são falsas.

Exercícios relacionados

Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(4 x-8 y+6 z, y7-9 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 5 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é menor do que o volume de Q.
© é igual ao volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
(E) Não sei
Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=( 1,1) e v=(1,0)
Calcule a projeção ortogonal de u sobre v quando u=(1, 2,3) e v=(1,1,1)
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se R: R^69 R^69 possui como polinômio característico pc^R(x)=(x-6)^31(x+6)^38 e autovalor 6 com multiplicidade geométrica 31 , então R é diagonalizável.
II - Se B é 48 times 48, então B possui autovetor v in R^48.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
© Apenas II é verdadeira.
(D) Apenas I é verdadeira.
(E) Não sei