Uma elipse tem centro C(-2,1) e semi-eixo menor de comprimento b=15 paralelo ao eixo x. Se sua excentricidade é e=14, então a equação dessa elipse é.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação de uma elipse. A gente precisa usar alguns conceitos de geometria analítica, como o centro da elipse, os semi-eixos e a excentricidade. Vamos precisar identificar esses elementos e relacioná-los para achar a equação da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse. Se o centro da elipse está no ponto (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 , a equação é:
Aqui, é o comprimento do semi-eixo maior e é o comprimento do semi-eixo menor.

Passo 3

No nosso caso, o centro da elipse é , então e . Também foi dado que o semi-eixo menor e que ele é paralelo ao eixo . Isso significa que o semi-eixo maior está paralelo ao eixo .

Passo 4

Sabemos também que a excentricidade e = raiza^2 - b^2a da elipse é . A excentricidade está relacionada aos semi-eixos pela fórmula:
Vamos usar essa fórmula para encontrar o valor de .

Passo 5

Primeiro, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula da excentricidade:
14 = raiza^2 - 15^2a
Simplificando:
14 = raiza^2 - 225a

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a4 = raiza^2 - 225 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por (a4)^2 = a^2 - 225 :
a^216 = a^2 - 225
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 7

Agora, vamos resolver para a^2 = 16a^2 - 3600 . Primeiro, multiplicamos todos os termos por 16 para eliminar o denominador:
16a^2 - a^2 = 3600
Em seguida, isolamos 15a^2 = 3600 :
a^2 = 360015
a^2 = 240

Passo 8

Agora que temos e (logo, ), podemos substituir todos esses valores na equação geral da elipse.

Passo 9

Substituindo (x - (-2))^2240 + (y - 1)^2225 = 1 , (x + 2)^2240 + (y - 1)^2225 = 1 , e na equação da elipse:
Simplificando os sinais:

Resposta

A equação da elipse é:
(x + 2)^2240 + (y - 1)^2225 = 1

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