Uma elipse tem centro
e semi-eixo menor de comprimento
paralelo ao eixo
. Se sua excentricidade é
, então a equação dessa elipse é.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação de uma elipse. A gente precisa usar alguns conceitos de geometria analítica, como o centro da elipse, os semi-eixos e a excentricidade. Vamos precisar identificar esses elementos e relacioná-los para achar a equação da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma elipse. Se o centro da elipse está no ponto
, a equação é:
Aqui,
é o comprimento do semi-eixo maior e
é o comprimento do semi-eixo menor.
Passo 3
No nosso caso, o centro da elipse é
, então
e
. Também foi dado que o semi-eixo menor
e que ele é paralelo ao eixo
. Isso significa que o semi-eixo maior
está paralelo ao eixo
.
Passo 4
Sabemos também que a excentricidade
da elipse é
. A excentricidade está relacionada aos semi-eixos pela fórmula:
Vamos usar essa fórmula para encontrar o valor de
.
Passo 5
Primeiro, vamos substituir os valores que já conhecemos na fórmula da excentricidade:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos todos os termos por 16 para eliminar o denominador:
Em seguida, isolamos
:
Passo 8
Agora que temos
e
(logo,
), podemos substituir todos esses valores na equação geral da elipse.
Passo 9
Substituindo
,
,
e
na equação da elipse:
Simplificando os sinais:
Resposta
A equação da elipse é: