Sejam e subespacos gerados do . Determine:
(a) Uma base e a dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores no espaço tridimensional, chamado e . Precisamos encontrar uma base e a dimensão da união desses dois conjuntos, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como Span, base e dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Span. Quando dizemos que , significa que é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e . O mesmo vale para .
Passo 3
Para encontrar a união , precisamos juntar os vetores que geram e . Então, vamos listar todos esses vetores:
Passo 4
Agora, queremos saber quantos desses vetores são linearmente independentes, ou seja, se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros. Isso vai nos ajudar a encontrar uma base para .
Passo 5
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada:
Reduzindo essa matriz, percebemos que nenhuma coluna pode ser escrita como combinação das outras, o que significa que todos os 4 vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos 4 vetores linearmente independentes em , isso é impossível, pois a dimensão máxima de é 3. Portanto, houve um erro na redução. Vamos verificar novamente a dependência linear.
Passo 7
Ao reavaliar, percebemos que o vetor (0,2,2) = -1 cdot (2,1,1) + 2 cdot (1,0,2) pode ser escrito como combinação de e :
Isso mostra que não adiciona nada novo à base.
Passo 8
Então, a base para (2,1,1), (1,0,2), (3,1,0) é:
Passo 9
A dimensão de é o número de vetores na base, que é 3.