Sejam U=SpanR(2,1,1),(1,0,2) e V=SpanR(3,1,0),(0,2,2) subespacos gerados do R^3. Determine:
(a) Uma base e a dimensão de U cup W.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A gente tem dois conjuntos de vetores no espaço tridimensional, chamado e . Precisamos encontrar uma base e a dimensão da união desses dois conjuntos, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como Span, base e dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Span. Quando dizemos que , significa que é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e . O mesmo vale para .

Passo 3

Para encontrar a união (2,1,1), (1,0,2), (3,1,0), (0,2,2) , precisamos juntar os vetores que geram e . Então, vamos listar todos esses vetores:

Passo 4

Agora, queremos saber quantos desses vetores são linearmente independentes, ou seja, se algum vetor pode ser escrito como combinação dos outros. Isso vai nos ajudar a encontrar uma base para .

Passo 5

Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada:
2 & 1 & 3 & 0 1 & 0 & 1 & 2 1 & 2 & 0 & 2
Reduzindo essa matriz, percebemos que nenhuma coluna pode ser escrita como combinação das outras, o que significa que todos os 4 vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos 4 vetores linearmente independentes em , isso é impossível, pois a dimensão máxima de é 3. Portanto, houve um erro na redução. Vamos verificar novamente a dependência linear.

Passo 7

Ao reavaliar, percebemos que o vetor (0,2,2) = -1 cdot (2,1,1) + 2 cdot (1,0,2) pode ser escrito como combinação de e :
Isso mostra que não adiciona nada novo à base.

Passo 8

Então, a base para (2,1,1), (1,0,2), (3,1,0) é:

Passo 9

A dimensão de é o número de vetores na base, que é 3.

Resposta

A base de é e a dimensão é 3.

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Ex. 2. Simplifique:
© 2(y+4)-3 y;
Seja T: V W uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja H subset V um subespaço não nulo. Prove que:
(a) dim T(H)=dim H.
(b) Se T, além de injetora, é sobrejetora, então dim V=dim W.
Seja U subset R^3 times 3 o subespaço vetorial das matrizes diagonais. Considere a transformação linear T: P2(R) U definida por
T(a+b x+c x^2)=[ccc a-b+2 c & 0 & 0 0 & 2 a+b & 0 0 & 0 & -a-2 b+2 c ]
Encontre uma base para N u(T).
Ex. 2. Simplifique:
(h) a(a-5)-3 a(2 a-9);