Determine a dimensão calculando uma base explícita com sua respectiva prova de:
(b) C como R-espaço vetorial.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos determinar a dimensão do conjunto dos números complexos C quando considerados como um espaço vetorial sobre os números reais R. Para isso, precisamos encontrar uma base explícita para C nessa estrutura e, então, verificar quantos vetores essa base possui, que será a dimensão do espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço. No caso de C como espaço vetorial sobre R, podemos pensar em cada número complexo como uma combinação linear de números reais.

Passo 3

Um número complexo geral pode ser escrito como a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, tal que i^2 = -1. Isso sugere que qualquer número complexo é uma combinação linear de 1 e i com coeficientes reais.

Passo 4

Agora, vamos verificar se os vetores 1 e i são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço C. Suponha que exista uma combinação linear c1 cdot 1 + c2 cdot i = 0, onde c1 e c2 são reais. Isso implica que c1 + c2 i = 0, o que só acontece se c1 = 0 e c2 = 0. Portanto, 1 e i são linearmente independentes.

Passo 5

Além disso, qualquer elemento de C pode ser escrito como a cdot 1 + b cdot i, o que significa que 1 e i geram todo o espaço C. Assim, 1, i é uma base para C como espaço vetorial sobre R.

Resposta

A dimensão de C como espaço vetorial sobre R é 2, e uma base explícita é 1, i.

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