Determine a dimensão calculando uma base explícita com sua respectiva prova de:
(b)
como
-espaço vetorial.
(b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos determinar a dimensão do conjunto dos números complexos
quando considerados como um espaço vetorial sobre os números reais
. Para isso, precisamos encontrar uma base explícita para
nessa estrutura e, então, verificar quantos vetores essa base possui, que será a dimensão do espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o espaço. No caso de
como espaço vetorial sobre
, podemos pensar em cada número complexo como uma combinação linear de números reais.
Passo 3
Um número complexo geral pode ser escrito como
, onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária, tal que
. Isso sugere que qualquer número complexo é uma combinação linear de
e
com coeficientes reais.
Passo 4
Agora, vamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço
. Suponha que exista uma combinação linear
, onde
e
são reais. Isso implica que
, o que só acontece se
e
. Portanto,
e
são linearmente independentes.
Passo 5
Além disso, qualquer elemento de
pode ser escrito como
, o que significa que
e
geram todo o espaço
. Assim,
é uma base para
como espaço vetorial sobre
.
Resposta
A dimensão de
como espaço vetorial sobre
é
, e uma base explícita é
.
Exercícios relacionados
Descubra a transformação linear
tal que
Ex. 1. Simplifique as expressões:
(k) ;
(k)
Os vetores dos exercícios 16 - 17 pertencem a um mesmo plano? Justifique sua resposta.
Seja
, onde
.
(a) Encontre todos os valores de que tornam a transformação linear
invertível.
(b) Encontre a inversa de .
(a) Encontre todos os valores de
(b) Encontre a inversa de