Considere beta como a base de R^2 formada pelos vetores (1,1) e (1,-1). Seja T: R^2 R^2 tal que
[T]beta^beta=[ll 5 & 2 0 & 1 ]
Determine [T]alpha^alpha onde alpha é a base canônica de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear [T]beta^beta = 5 & 2 0 & 1 e uma base formada pelos vetores e . A matriz de nessa base é dada por:
O que queremos é encontrar a matriz de na base canônica de . Para isso, vamos precisar usar a mudança de base e algumas propriedades de matrizes de transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a base canônica de . A base canônica é formada pelos vetores e . Nosso objetivo é expressar a transformação nessa base padrão.

Passo 3

Para mudar a matriz de P = 1 & 1 1 & -1 da base para a base canônica , precisamos da matriz de mudança de base de para , que chamaremos de . Essa matriz é formada pelos vetores da base escritos na base canônica :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a inversa de a & b c & d , que será usada para mudar a base da matriz de P^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a . A inversa de uma matriz Determinante de P = (1)(-1) - (1)(1) = -1 - 1 = -2 P^-1 = 1-2 -1 & -1 -1 & 1 = 12 & 12 12 & -12 é dada por:
Aplicando isso à nossa matriz :
Então,

Passo 5

Agora que temos [T]alpha^alpha = P [T]beta^beta P^-1 e , podemos encontrar a matriz de na base canônica usando a fórmula de mudança de base:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 6

Primeiro, multiplicamos P [T]beta^beta = 1 & 1 1 & -1 5 & 2 0 & 1 = 1 cdot 5 + 1 cdot 0 & 1 cdot 2 + 1 cdot 1 1 cdot 5 + (-1) cdot 0 & 1 cdot 2 + (-1) cdot 1 = 5 & 3 5 & 1 pela matriz :

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado pela inversa de [T]alpha^alpha = 5 & 3 5 & 1 12 & 12 12 & -12 :
5 cdot 12 + 3 cdot 12 = 52 + 32 = 82 = 4
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Primeiro elemento (1,1):
5 cdot 12 + 3 cdot (-12) = 52 - 32 = 22 = 1
  • Primeiro elemento (1,2):
5 cdot 12 + 1 cdot 12 = 52 + 12 = 62 = 3
  • Segundo elemento (2,1):
5 cdot 12 + 1 cdot (-12) = 52 - 12 = 42 = 2
  • Segundo elemento (2,2):
[T]alpha^alpha = 4 & 1 3 & 2
Então, a matriz resultante é:

Resposta

A matriz de [T]alpha^alpha = 4 & 1 3 & 2 na base canônica é:

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