Considere
como a base de
formada pelos vetores
e
. Seja
tal que
Determine
onde
é a base canônica de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
e uma base
formada pelos vetores
e
. A matriz de
nessa base
é dada por:
O que queremos é encontrar a matriz de
na base canônica
de
. Para isso, vamos precisar usar a mudança de base e algumas propriedades de matrizes de transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a base canônica
de
. A base canônica é formada pelos vetores
e
. Nosso objetivo é expressar a transformação
nessa base padrão.
Passo 3
Para mudar a matriz de
da base
para a base canônica
, precisamos da matriz de mudança de base de
para
, que chamaremos de
. Essa matriz
é formada pelos vetores da base
escritos na base canônica
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a inversa de
, que será usada para mudar a base da matriz de
. A inversa de uma matriz
é dada por:
Aplicando isso à nossa matriz
:
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos encontrar a matriz de
na base canônica
usando a fórmula de mudança de base:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Passo 6
Primeiro, multiplicamos
pela matriz
:
Passo 7
Agora, multiplicamos o resultado pela inversa de
:
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
- Primeiro elemento (1,1):
- Primeiro elemento (1,2):
- Segundo elemento (2,1):
- Segundo elemento (2,2):
Então, a matriz resultante é:
Resposta
A matriz de
na base canônica
é: