Seja um telescópio com espelho primário de diâmetro D1, ao qual está acoplado um detetor com eficiência quântica QE1. Seja também um outro sistema telescópio+detetor em que esses valores são, respectivamente, D2 e QE2. Se D2=2.5 D1 e QE2=0.8 QE1, determine:
A razão entre os tempos de integração, t2 / t1, de forma que o sinal no segundo sistema seja 50 % maior do que o sinal no outro (ou seja, S2 / S1=1.5 ), para o mesmo alvo e as mesmas condições noturnas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre telescópios e detetores. O enunciado fala sobre dois sistemas diferentes de telescópio+detetor, cada um com um diâmetro de espelho primário e uma eficiência quântica diferentes. Precisamos descobrir a razão entre os tempos de integração desses dois sistemas para que o sinal no segundo seja 50% maior que no primeiro, mantendo as mesmas condições de observação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o tempo de integração. Basicamente, é o tempo que o telescópio fica “olhando” para o alvo para coletar luz suficiente. Quanto maior o tempo, mais luz é coletada, aumentando o sinal detectado.

Passo 3

O sinal (S) detectado por um telescópio depende de três fatores principais:
  1. Área do espelho primário (A): Quanto maior o diâmetro (D) do espelho, maior a área, e mais luz ele pode coletar. A área de um círculo é calculada por $ A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 $, mas para simplificar, podemos dizer que $ A \propto D^2 $.
  2. Eficiência quântica (QE): Isso representa a capacidade do detetor em converter fótons em sinais elétricos. Quanto maior, mais eficiente é o detetor.
  3. Tempo de integração (t): Como falei antes, quanto mais tempo, mais luz coletada.
Então, podemos relacionar o sinal pelo produto dessas três grandezas:
A = pi (D2)^2

Passo 4

Agora, vamos relacionar os dois sistemas:
Para o primeiro sistema:
S1 propto D1^2 times QE1 times t1
Para o segundo sistema:
S2 propto D2^2 times QE2 times t2
Queremos que:
S2S1 = 1.5

Passo 5

Substituindo as expressões de $ S_1 $ e $ S_2 $:
S1

Passo 6

Sabemos que:
D2 = 2.5 times D1
QE2 = 0.8 times QE1
Vamos substituir esses valores na equação:
(2.5 D1)^2 times (0.8 QE1) times t2D1^2 times QE1 times t1 = 1.5

Passo 7

Calculando $ (2.5 D_1)^2 $:
(2.5 D1)^2
Então:
(2.5)^2 = 6.25

Passo 8

Simplificando os termos que se cancelam ($ D_1^2 $ e $ QE_1 $):
D1^2
Multiplicando 6.25 por 0.8:
QE1
Então:
6.25 times 0.8 times t2t1 = 1.5

Passo 9

Isolando $ \frac{t_2}{t_1} $:
t2t1
t2t1 = 1.55

Resposta

A razão entre os tempos de integração é $ \frac{t_2}{t_1} = 0.3 $. Ou seja, o segundo sistema precisa de apenas 30% do tempo de integração do primeiro para que o sinal seja 50% maior.

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