Seja um telescópio com espelho primário de diâmetro
, ao qual está acoplado um detetor com eficiência quântica
. Seja também um outro sistema telescópio+detetor em que esses valores são, respectivamente,
e
. Se
e
, determine:
A razão entre os tempos de integração,
, de forma que o sinal no segundo sistema seja
maior do que o sinal no outro (ou seja,
), para o mesmo alvo e as mesmas condições noturnas.
A razão entre os tempos de integração,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre telescópios e detetores. O enunciado fala sobre dois sistemas diferentes de telescópio+detetor, cada um com um diâmetro de espelho primário e uma eficiência quântica diferentes. Precisamos descobrir a razão entre os tempos de integração desses dois sistemas para que o sinal no segundo seja 50% maior que no primeiro, mantendo as mesmas condições de observação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o tempo de integração. Basicamente, é o tempo que o telescópio fica “olhando” para o alvo para coletar luz suficiente. Quanto maior o tempo, mais luz é coletada, aumentando o sinal detectado.
Passo 3
O sinal (S) detectado por um telescópio depende de três fatores principais:
- Área do espelho primário (A): Quanto maior o diâmetro (D) do espelho, maior a área, e mais luz ele pode coletar. A área de um círculo é calculada por $ A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 $, mas para simplificar, podemos dizer que $ A \propto D^2 $.
- Eficiência quântica (QE): Isso representa a capacidade do detetor em converter fótons em sinais elétricos. Quanto maior, mais eficiente é o detetor.
- Tempo de integração (t): Como falei antes, quanto mais tempo, mais luz coletada.
Então, podemos relacionar o sinal pelo produto dessas três grandezas:
Passo 4
Agora, vamos relacionar os dois sistemas:
Para o primeiro sistema:
Para o segundo sistema:
Queremos que:
Passo 5
Substituindo as expressões de $ S_1 $ e $ S_2 $:
Passo 6
Sabemos que:
Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 7
Calculando $ (2.5 D_1)^2 $:
Então:
Passo 8
Simplificando os termos que se cancelam ($ D_1^2 $ e $ QE_1 $):
Multiplicando 6.25 por 0.8:
Então:
Passo 9
Isolando $ \frac{t_2}{t_1} $:
Resposta
A razão entre os tempos de integração é $ \frac{t_2}{t_1} = 0.3 $. Ou seja, o segundo sistema precisa de apenas 30% do tempo de integração do primeiro para que o sinal seja 50% maior.