Seja um telescópio com espelho primário de diâmetro D1, ao qual está acoplado um detetor com eficiência quântica QE1. Seja também um outro sistema telescópio+detetor em que esses valores são, respectivamente, D2 e QE2. Se D2=2.5 D1 e QE2=0.8 QE1, determine:
A razão entre os sinais S1 e S2 produzidos por ambos os sistemas ao observarem o mesmo alvo com o mesmo tempo de exposição e sob as mesmas condições atmosféricas.

Passo 1

Neste exercício, vamos comparar dois sistemas de telescópios que observam o mesmo alvo. O primeiro sistema possui um espelho primário de diâmetro D1 e um detector com eficiência quântica QE1. O segundo sistema tem um espelho de diâmetro D2 = 2,5 D1 e um detector com eficiência quântica QE2 = 0,8 cdot QE1. Nosso objetivo é determinar a razão entre os sinais S1 e S2 produzidos pelos dois sistemas sob as mesmas condições de observação.
Para resolver esse problema, precisamos entender como a área do espelho do telescópio e a eficiência quântica do detector influenciam o sinal observado. A eficiência quântica QE indica a fração de fótons detectados pelo detector em relação ao total de fótons recebidos pelo espelho do telescópio.

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a área dos espelhos de ambos os telescópios, já que a quantidade de luz coletada é proporcional à área do espelho. A área A de um espelho circular é dada pela fórmula:
A = pi ( D2 )^2
Para o primeiro telescópio:
A1 = pi ( D12 )^2
Para o segundo telescópio:
A2 = pi ( D22 )^2 = pi ( 2,5 D12 )^2 = pi ( 1,25 D1 )^2 = pi cdot 1,5625 D1^2
Portanto, a razão entre as áreas é:
A2A1 = pi cdot 1,5625 D1^2pi cdot ( D12 )^2 = 1,5625 D1^20,25 D1^2 = 6,25

Passo 3

Agora, consideramos a eficiência quântica dos detectores. A eficiência quântica do segundo detector é dada por QE2 = 0,8 cdot QE1, o que significa que ele detecta 80% dos fótons que o primeiro detector detecta, para a mesma quantidade de fótons recebidos.

Passo 4

O sinal S detectado é proporcional tanto à área do espelho quanto à eficiência quântica do detector. Portanto, podemos escrever:
S propto A cdot QE
Assim, a razão entre os sinais S1 e S2 é:
S1S2 = A1 cdot QE1A2 cdot QE2
Substituindo os valores que já encontramos:
S1S2 = 1 cdot QE16,25 cdot 0,8 cdot QE1 = 16,25 cdot 0,8 = 15 = 0,2

Resposta

A razão entre os sinais é S1S2 = 0,2.

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