Um homem está em pé sobre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de
; seus braços estão abertos e ele segura um haltere de
em cada mão. O momento de inércia do sistema formado por homem, os halteres e a plataforma em relação ao eixo vertical central da plataforma é de
. Se ao mover os braços o homem reduz o momento de inércia do sistema para
, determine
© Qual foi o trabalho realizado pelo homem ao mover os braços para reduzir o momento de inércia do sistema?
© Qual foi o trabalho realizado pelo homem ao mover os braços para reduzir o momento de inércia do sistema?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cara parado numa plataforma que gira sem atrito, girando a 1,00 revolução por segundo. Ele está segurando um haltere de 1,00 kg em cada mão com os braços abertos. O momento de inércia inicial do sistema (homem, halteres e plataforma) é de 10,0 kg·m². Quando ele move os braços, conseguindo puxar um pouco, o momento de inércia diminui para 2,00 kg·m². A gente precisa descobrir qual foi o trabalho que ele realizou ao mover os braços para reduzir o momento de inércia desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre:
- Momento de inércia: que é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra mudanças na sua rotação.
- Energia cinética rotacional: que é a energia associada ao movimento de rotação.
- Trabalho: que, nesse contexto, está relacionado à mudança na energia cinética do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética rotacional (
) de um objeto em rotação é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o momento de inércia, -
é a velocidade angular em radianos por segundo.
Quando o homem reduz o momento de inércia do sistema ao puxar os braços, a velocidade angular (
) muda para manter o momento angular (
) constante, já que não há atrito para agir. O momento angular é dado por:
Como não há torque externo,
é conservado. Então,
.
Passo 3
Vamos converter a velocidade angular inicial de revoluções por segundo para radianos por segundo, porque a fórmula da energia cinética usa
em rad/s.
Sabemos que:
- 1 revolução =
radianos - Então, 1,00 rev/s =
rad/s
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos usar a conservação do momento angular para encontrar a velocidade angular final (
) depois que o homem moveu os braços.
Temos:
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos as velocidades angulares inicial e final, podemos calcular a energia cinética rotacional antes e depois do movimento dos braços.
Energia cinética inicial:
Energia cinética final:
A diferença de energia cinética é o trabalho realizado pelo homem:
Resposta
O trabalho realizado pelo homem ao mover os braços foi de
Joules, aproximadamente 790,8 J.