Um homem está em pé sobre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade angular de 1.00 rev / s; seus braços estão abertos e ele segura um haltere de 1,00 kg em cada mão. O momento de inércia do sistema formado por homem, os halteres e a plataforma em relação ao eixo vertical central da plataforma é de 10.0 kg m^2. Se ao mover os braços o homem reduz o momento de inércia do sistema para 2.00 kg m^2, determine
© Qual foi o trabalho realizado pelo homem ao mover os braços para reduzir o momento de inércia do sistema?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cara parado numa plataforma que gira sem atrito, girando a 1,00 revolução por segundo. Ele está segurando um haltere de 1,00 kg em cada mão com os braços abertos. O momento de inércia inicial do sistema (homem, halteres e plataforma) é de 10,0 kg·m². Quando ele move os braços, conseguindo puxar um pouco, o momento de inércia diminui para 2,00 kg·m². A gente precisa descobrir qual foi o trabalho que ele realizou ao mover os braços para reduzir o momento de inércia desse sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre:
  • Momento de inércia: que é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra mudanças na sua rotação.
  • Energia cinética rotacional: que é a energia associada ao movimento de rotação.
  • Trabalho: que, nesse contexto, está relacionado à mudança na energia cinética do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética rotacional ( Ecin) de um objeto em rotação é dada pela fórmula:
Ecin = 12 I omega^2
Onde:
  • I é o momento de inércia,
  • omega é a velocidade angular em radianos por segundo.
Quando o homem reduz o momento de inércia do sistema ao puxar os braços, a velocidade angular ( omega) muda para manter o momento angular ( L) constante, já que não há atrito para agir. O momento angular é dado por:
L = I omega
Como não há torque externo, L é conservado. Então, Iinicial omegainicial = Ifinal omegafinal.

Passo 3

Vamos converter a velocidade angular inicial de revoluções por segundo para radianos por segundo, porque a fórmula da energia cinética usa omega em rad/s.
Sabemos que:
  • 1 revolução = 2pi radianos
  • Então, 1,00 rev/s = 2pi rad/s
Portanto:
omegainicial = 2pi , rad/s

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação do momento angular para encontrar a velocidade angular final ( omegafinal) depois que o homem moveu os braços.
Temos:
Iinicial omegainicial = Ifinal omegafinal
Substituindo os valores:
10,0 , kg·m^2 times 2pi , rad/s = 2,00 , kg·m^2 times omegafinal
Resolvendo para omegafinal:
omegafinal = 10,0 times 2pi2,00 = 10pi , rad/s

Passo 5

Agora que temos as velocidades angulares inicial e final, podemos calcular a energia cinética rotacional antes e depois do movimento dos braços.
Energia cinética inicial:
Ecin-inicial = 12 Iinicial omegainicial^2 = 12 times 10,0 , kg·m^2 times (2pi)^2 = 20pi^2 , Jou<=s
Energia cinética final:
Ecin-final = 12 Ifinal omegafinal^2 = 12 times 2,00 , kg·m^2 times (10pi)^2 = 100pi^2 , Jou<=s
A diferença de energia cinética é o trabalho realizado pelo homem:
W = Ecin-final - Ecin-inicial = 100pi^2 - 20pi^2 = 80pi^2 , Jou<=s

Resposta

O trabalho realizado pelo homem ao mover os braços foi de 80pi^2 Joules, aproximadamente 790,8 J.

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