Considere a transformação linear T(x, y, z)= (2 x-3 y-3 z, x-y-z,-2 x-2 y-3 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b12 vale:
(A) -4
(B) -3
© -2
(D) -1
(E) 0
(F) 1
(G) 2
(H) 3
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear que pega um vetor e transforma em outro vetor. O objetivo aqui é encontrar a matriz inversa de e, especificamente, descobrir o valor da entrada dessa matriz inversa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matrizes e inversão de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que representa a transformação linear T(x, y, z) = (2x - 3y - 3z,; x - y - z,; -2x - 2y - 3z) . A transformação está definida como:
A = 2 & -3 & -3 1 & -1 & -1 -2 & -2 & -3
Isso significa que a matriz de é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a matriz inversa de det(A) = 2 cdot -1 & -1 -2 & -3 - (-3) cdot 1 & -1 -2 & -3 + (-3) cdot 1 & -1 -2 & -2 , que vamos chamar de -1 & -1 -2 & -3 = (-1)(-3) - (-1)(-2) = 3 - 2 = 1 . A matriz inversa existe se e somente se o determinante de 1 & -1 -2 & -3 = (1)(-3) - (-1)(-2) = -3 - 2 = -5 for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de 1 & -1 -2 & -2 = (1)(-2) - (-1)(-2) = -2 - 2 = -4 :
det(A) = 2 cdot 1 - (-3) cdot (-5) + (-3) cdot (-4) = 2 - 15 + 12 = -1
Calculando cada menor:
Agora, substituindo de volta:
Como o determinante é (diferente de zero), a matriz inversa existe.

Passo 4

Para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , usamos a fórmula:
Já sabemos que . Agora, vamos calcular a matriz adjunta , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 5

Calculando os cofatores de C11 = -1 & -1 -2 & -3 = 1 (já calculado) :
C12 = - 1 & -1 -2 & -3 = -(-5) = 5 á
C13 = 1 & -1 -2 & -2 = -4 (já calculado)
C21 = - -3 & -3 -2 & -3 = -((-3)(-3) - (-3)(-2)) = -(9 - 6) = -3 á
C22 = 2 & -3 -2 & -3 = (2)(-3) - (-3)(-2) = -6 - 6 = -12
C23 = - 2 & -3 -2 & -2 = -((2)(-2) - (-3)(-2)) = -(-4 - 6) = 10
C31 = -3 & -3 -1 & -1 = (-3)(-1) - (-3)(-1) = 3 - 3 = 0
C32 = - 2 & -3 1 & -1 = -((2)(-1) - (-3)(1)) = -(-2 + 3) = -1
C33 = 2 & -3 1 & -1 = (2)(-1) - (-3)(1) = -2 + 3 = 1
C = 1 & 5 & -4 -3 & -12 & 10 0 & -1 & 1
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 6

Agora, a adjunta adj(A) = C^T = 1 & -3 & 0 5 & -12 & -1 -4 & 10 & 1 é a transposta da matriz dos cofatores:
A^-1 = 1-1 cdot 1 & -3 & 0 5 & -12 & -1 -4 & 10 & 1 = -1 & 3 & 0 -5 & 12 & 1 4 & -10 & -1
Finalmente, a inversa é:

Resposta

A entrada da matriz inversa é . Portanto, a resposta correta é a opção (H) 3.

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