Sejam
e
vértices de um triângulo. Calcule o valor de
de modo que
.
Passo 1
Então, vamos por partes! O enunciado nos diz que temos um triângulo com os vértices
,
e
. A gente precisa encontrar o valor de
de forma que o ângulo em
, ou seja,
, seja de
.
Conteúdo da matéria: Vamos usar vetores e a fórmula do cosseno para calcular o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores
e
. Isso significa subtrair as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
Passo 5
Substituindo na fórmula do cosseno:
Vamos multiplicar ambos os lados por
:
Passo 6
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Expandindo:
Passo 7
Vamos levar tudo para o mesmo lado da equação:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar o decimal:
Passo 8
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.