Sejam A=(1,0,2), B=(3,1,3) e C=(b+1,-2,3) vértices de um triângulo. Calcule o valor de b de modo que B widehatA C=60^circ.

Passo 1

Então, vamos por partes! O enunciado nos diz que temos um triângulo com os vértices , e . A gente precisa encontrar o valor de de forma que o ângulo em , ou seja, , seja de .
Conteúdo da matéria: Vamos usar vetores e a fórmula do cosseno para calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores BA = B - A = (3-1, , 1-0, , 3-2) = (2, , 1, , 1) e CA = A - C = (1-(b+1), , 0-(-2), , 2-3) = (-b, , 2, , -1) . Isso significa subtrair as coordenadas dos pontos:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo entre cos(theta) = BA cdot CA||BA|| , ||CA|| e cos(60^circ) = BA cdot CA||BA|| , ||CA|| implies 12 = BA cdot CA||BA|| , ||CA|| :
Sabemos que , então:

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar BA cdot CA = (2)(-b) + (1)(2) + (1)(-1) = -2b + 2 - 1 = -2b + 1 :
||BA|| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
||CA|| = raiz(-b)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raizb^2 + 4 + 1 = raizb^2 + 5

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
12 = -2b + 1raiz6 cdot raizb^2 + 5
Vamos multiplicar ambos os lados por -2b + 1 = 12 cdot raiz6 cdot raizb^2 + 5 :

Passo 6

Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
(-2b + 1)^2 = ( 12 cdot raiz6 cdot raizb^2 + 5 )^2
Expandindo:
4b^2 - 4b + 1 = 14 cdot 6 cdot (b^2 + 5) implies 4b^2 - 4b + 1 = 64(b^2 + 5) implies 4b^2 - 4b + 1 = 1.5b^2 + 7.5

Passo 7

Vamos levar tudo para o mesmo lado da equação:
4b^2 - 4b + 1 - 1.5b^2 - 7.5 = 0 implies 2.5b^2 - 4b - 6.5 = 0
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar o decimal:
5b^2 - 8b - 13 = 0

Passo 8

Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
b = 8 pm raiz(-8)^2 - 4 cdot 5 cdot (-13)2 cdot 5 = 8 pm raiz64 + 26010 = 8 pm raiz32410 = 8 pm 1810
Isso nos dá duas soluções:
b = 8 + 1810 = 2610 = 2.6
b = 8 - 1810 = -1010 = -1

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

Exercícios relacionados