Seja o triângulo de vértices
. Determinar o ângulo interno ao vértice
.
Passo 1
Opa! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um triângulo com os vértices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). A missão aqui é descobrir qual é o ângulo interno no vértice B desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e o cálculo do ângulo entre eles usando o produto escalar. Não se preocupa, vou explicar tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que formam o ângulo no vértice B. São eles:
- Vetor BA: que vai de B para A.
- Vetor BC: que vai de B para C.
Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas de B das coordenadas de A e C, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores BA e BC:
Passo 4
Vamos precisar também das magnitudes (ou comprimentos) dos vetores BA e BC. A magnitude de um vetor
é calculada por:
Calculando para BA:
E para BC:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre os dois vetores:
Onde
é o ângulo entre BA e BC, que é justamente o ângulo no vértice B que queremos encontrar.
Rearranjando para encontrar
:
Passo 6
Finalmente, para encontrar
, tiramos o arco cosseno de 0,707:
Resposta
O ângulo interno no vértice B é aproximadamente 45 graus.