Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e cdot C(3,-2,1). Determinar o ângulo interno ao vértice B.

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um triângulo com os vértices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). A missão aqui é descobrir qual é o ângulo interno no vértice B desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e o cálculo do ângulo entre eles usando o produto escalar. Não se preocupa, vou explicar tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que formam o ângulo no vértice B. São eles:
  • Vetor BA: que vai de B para A.
  • Vetor BC: que vai de B para C.
Para encontrar esses vetores, subtraímos as coordenadas de B das coordenadas de A e C, respectivamente.
BA = A - B = (-1 - (-4), -2 - (-2), 4 - 0) = (3, 0, 4)
BC = C - B = (3 - (-4), -2 - (-2), 1 - 0) = (7, 0, 1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar desses dois vetores. O produto escalar entre dois vetores u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz e BA cdot BC = (3)(7) + (0)(0) + (4)(1) = 21 + 0 + 4 = 25 é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores BA e BC:

Passo 4

Vamos precisar também das magnitudes (ou comprimentos) dos vetores BA e BC. A magnitude de um vetor |u| = raizux^2 + uy^2 + uz^2 é calculada por:
|BA| = raiz3^2 + 0^2 + 4^2 = raiz9 + 0 + 16 = raiz25 = 5
Calculando para BA:
|BC| = raiz7^2 + 0^2 + 1^2 = raiz49 + 0 + 1 = raiz50 approx 7,071
E para BC:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre os dois vetores:
BA cdot BC = |BA| cdot |BC| cdot cos(theta)
Onde cos(theta) = BA cdot BC|BA| cdot |BC| = 255 times 7,071 approx 2535,355 approx 0,707 é o ângulo entre BA e BC, que é justamente o ângulo no vértice B que queremos encontrar.
Rearranjando para encontrar :

Passo 6

Finalmente, para encontrar theta = arccos(0,707) approx 45^circ , tiramos o arco cosseno de 0,707:

Resposta

O ângulo interno no vértice B é aproximadamente 45 graus.

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