Obtenha os vetores de norma 3 raiz3 que são ortogonais a u=(2,3,-1) e a v=(2,-4,6).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra vetorial onde precisamos encontrar vetores que têm norma igual a e que são ortogonais aos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar vetores perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 ) e u times v = (3 cdot 6 - (-1) cdot (-4), (-1) cdot 2 - 2 cdot 6, 2 cdot (-4) - 3 cdot 2) = (18 - 4, -2 - 12, -8 - 6) = (14, -14, -14) . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (comprimento) do vetor resultante |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 . A norma de um vetor |w| = raiz14^2 + (-14)^2 + (-14)^2 = raiz196 + 196 + 196 = raiz588 = 14raiz3 é dada por:
Calculando:

Passo 4

Queremos vetores com norma wunitário = ( 1414raiz3, -1414raiz3, -1414raiz3 ) = ( 1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) . Para isso, vamos normalizar vfinal = 3raiz3 cdot ( 1raiz3, -1raiz3, -1raiz3 ) = (3, -3, -3) e depois escalar para a norma desejada. A normalização é feita dividindo cada componente pela norma do vetor:
á
Agora, multiplicamos cada componente pelo fator necessário para que a nova norma seja . Como a norma do vetor unitário é 1, o fator é :

Passo 5

Além de , também temos que seu oposto satisfaz as mesmas condições de norma e ortogonalidade.

Resposta

Os vetores com norma ortogonais a e são e .

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