Sejam os vetores abaixo:
Diga se e são linearmente independentes. Em caso afirmativo, defina o espaço vetorial gerado por eles.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, em . Os vetores são e . A pergunta é pra saber se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, a gente também precisa definir qual é o espaço vetorial que eles geram. Pra resolver isso, a gente vai usar o conceito de combinação linear e ver se só a combinação trivial (onde os coeficientes são zero) dá o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores sejam linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear deles é multiplicando cada vetor por zero. Em outras palavras, se só tiver a solução e , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a equação . Substituindo os vetores, temos:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, a única solução é e .

Passo 5

Como a única solução para é e , isso significa que os vetores e são linearmente independentes.

Passo 6

Agora que já sabemos que os vetores são linearmente independentes, vamos definir o espaço vetorial que eles geram. Quando temos dois vetores linearmente independentes em , eles geram um plano que passa pela origem. Esse plano é formado por todas as combinações lineares possíveis desses vetores.

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes e o espaço vetorial que eles geram é um plano em formado por todas as combinações lineares de e .

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial linear, , tal que os vetores geram o plano , com
(a) Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial .
(b) Seja um um subconjunto de , ou seja, , definido como
Diga se o conjunto formado pela interseção é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.
Seja um espaço vetorial linear, , tal que os vetores geram o plano , com
(a) Forneça duas bases diferentes para o espaço vetorial .
(b) Diga qual a dimensão do espaço vetorial .
© Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Seja um vetor qualquer. Diga se e justifique sua resposta.
(d) Seja um um subconjunto de , ou seja, , definido como
Diga se o conjunto formado pela interseção é um espaço vetorial. Justifique sua resposta.
Sejam e espaços vetoriais reais. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se
(a) uma base para ;
(b) uma base para ;
© o espaço imagem de ;
(d) caso tenha inversa pela esquerda, forneça tal que ;
(e) caso tenha inversa pela direita, forneça tal que .
Sejam um espaço vetorial real. Seja um operador linear em , induzido pela matriz
Pede-se
(a) duas bases diferentes para ;
(b) o espaço imagem de ;
© as matrizes que induzem a transformação linear A nas bases escolhidas no item (a) acima;
(d) caso tenha inversa em , sua inversa, em qualquer uma das bases escolhidas;