Diga se e são linearmente independentes. Em caso afirmativo, defina o espaço vetorial gerado por eles.
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, em . Os vetores são e . A pergunta é pra saber se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, a gente também precisa definir qual é o espaço vetorial que eles geram. Pra resolver isso, a gente vai usar o conceito de combinação linear e ver se só a combinação trivial (onde os coeficientes são zero) dá o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores sejam linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear deles é multiplicando cada vetor por zero. Em outras palavras, se só tiver a solução e , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar a equação . Substituindo os vetores, temos:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, a única solução é e .
Passo 5
Como a única solução para é e , isso significa que os vetores e são linearmente independentes.
Passo 6
Agora que já sabemos que os vetores são linearmente independentes, vamos definir o espaço vetorial que eles geram. Quando temos dois vetores linearmente independentes em , eles geram um plano que passa pela origem. Esse plano é formado por todas as combinações lineares possíveis desses vetores.
Resposta
Os vetores e são linearmente independentes e o espaço vetorial que eles geram é um plano em formado por todas as combinações lineares de e .