Sejam os vetores u1, u2 in R^3 abaixo:
u1=[c -1 1 1 ] u2=[l 1 1 0 ]
Diga se u1 e u2 são linearmente independentes. Em caso afirmativo, defina o espaço vetorial gerado por eles.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores no espaço tridimensional, ou seja, em -1 1 1 . Os vetores são 1 1 0 e . A pergunta é pra saber se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, a gente também precisa definir qual é o espaço vetorial que eles geram. Pra resolver isso, a gente vai usar o conceito de combinação linear e ver se só a combinação trivial (onde os coeficientes são zero) dá o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que dois vetores sejam linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se a única forma de escrever o vetor nulo como combinação linear deles é multiplicando cada vetor por zero. Em outras palavras, se só tiver a solução e , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a equação a1 -1 1 1 + a2 1 1 0 = 0 0 0 . Substituindo os vetores, temos:
- a1 + a2 = 0 a1 + a2 = 0 a1 = 0
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da terceira equação, já sabemos que -0 + a2 = 0 implies a2 = 0 . Substituindo esse valor na primeira equação:
Então, a única solução é e .

Passo 5

Como a única solução para é e , isso significa que os vetores e são linearmente independentes.

Passo 6

Agora que já sabemos que os vetores são linearmente independentes, vamos definir o espaço vetorial que eles geram. Quando temos dois vetores linearmente independentes em , eles geram um plano que passa pela origem. Esse plano é formado por todas as combinações lineares possíveis desses vetores.

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes e o espaço vetorial que eles geram é um plano em formado por todas as combinações lineares de e .

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