Seja
, a velocidade unidirecional de um fluido compressível, cuja a densidade varia da seguinte forma:
. Obtenha a expressão da variação da velocidade,
, com o tempo,
, sabendo-se que para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a velocidade
de um fluido compressível que se move em uma direção. A densidade desse fluido varia com o tempo de acordo com a fórmula
. O que queremos é descobrir como essa velocidade
muda com o tempo
, sabendo que, no ponto
, a velocidade é
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para fluxos compressíveis, que relaciona a densidade e a velocidade do fluido. Essa equação é fundamental na mecânica dos fluidos e nos ajuda a entender como a massa se conserva quando o fluido se move.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da continuidade para um fluxo unidimensional e compressível:
Essa equação basicamente diz que a taxa de variação da densidade com o tempo mais a taxa de variação do fluxo de massa no espaço é igual a zero. É uma maneira de garantir que a massa total do fluido seja conservada enquanto ele se move.
Passo 3
Agora, vamos substituir a densidade dada na equação da continuidade. Sabemos que:
Vamos calcular a derivada temporal da densidade:
Passo 4
Substituindo
na equação da continuidade:
Agora, vamos desenvolver o termo
. Para isso, vamos considerar que
é uma função de
e
é uma função de
e
.
Passo 5
Explicando um pouco mais, a derivada parcial de
em relação a
é:
Mas, na densidade dada,
depende apenas de
, então
. Portanto, simplificamos para:
Passo 6
Voltando à equação da continuidade com essa simplificação:
Agora, vamos isolar
:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, para encontrar a variação da velocidade
com o tempo
, precisamos integrar essa expressão em relação a
. Vamos considerar que a velocidade no ponto
é
, que é a condição inicial dada.
Integrando:
Mas, como a integral de
é apenas
, podemos simplificar:
Resposta
A variação da velocidade com o tempo
é dada por: