Seja , a velocidade unidirecional de um fluido compressível, cuja a densidade varia da seguinte forma: . Obtenha a expressão da variação da velocidade, , com o tempo, , sabendo-se que para e .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a velocidade de um fluido compressível que se move em uma direção. A densidade desse fluido varia com o tempo de acordo com a fórmula . O que queremos é descobrir como essa velocidade muda com o tempo , sabendo que, no ponto , a velocidade é .
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para fluxos compressíveis, que relaciona a densidade e a velocidade do fluido. Essa equação é fundamental na mecânica dos fluidos e nos ajuda a entender como a massa se conserva quando o fluido se move.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da continuidade para um fluxo unidimensional e compressível:
Essa equação basicamente diz que a taxa de variação da densidade com o tempo mais a taxa de variação do fluxo de massa no espaço é igual a zero. É uma maneira de garantir que a massa total do fluido seja conservada enquanto ele se move.

Passo 3

Agora, vamos substituir a densidade dada na equação da continuidade. Sabemos que:
Vamos calcular a derivada temporal da densidade:

Passo 4

Substituindo na equação da continuidade:
Agora, vamos desenvolver o termo . Para isso, vamos considerar que é uma função de e é uma função de e .

Passo 5

Explicando um pouco mais, a derivada parcial de em relação a é:
Mas, na densidade dada, depende apenas de , então . Portanto, simplificamos para:

Passo 6

Voltando à equação da continuidade com essa simplificação:
Agora, vamos isolar :
Substituindo :

Passo 7

Agora, para encontrar a variação da velocidade com o tempo , precisamos integrar essa expressão em relação a . Vamos considerar que a velocidade no ponto é , que é a condição inicial dada.
Integrando:
Mas, como a integral de é apenas , podemos simplificar:

Resposta

A variação da velocidade com o tempo é dada por:

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