Seja u(x, t), a velocidade unidirecional de um fluido compressível, cuja a densidade varia da seguinte forma: rho=rho0 cdot[2-cos (w cdot t)]. Obtenha a expressão da variação da velocidade, u, com o tempo, t, sabendo-se que para x=0 e u=u0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a velocidade de um fluido compressível que se move em uma direção. A densidade desse fluido varia com o tempo de acordo com a fórmula . O que queremos é descobrir como essa velocidade muda com o tempo , sabendo que, no ponto , a velocidade é .
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para fluxos compressíveis, que relaciona a densidade e a velocidade do fluido. Essa equação é fundamental na mecânica dos fluidos e nos ajuda a entender como a massa se conserva quando o fluido se move.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da continuidade para um fluxo unidimensional e compressível:
partial rhopartial t + partial (rho u)partial x = 0
Essa equação basicamente diz que a taxa de variação da densidade com o tempo mais a taxa de variação do fluxo de massa no espaço é igual a zero. É uma maneira de garantir que a massa total do fluido seja conservada enquanto ele se move.

Passo 3

Agora, vamos substituir a densidade dada na equação da continuidade. Sabemos que:
rho = rho0 cdot [2 - cos(omega t)]
Vamos calcular a derivada temporal da densidade:
partial rhopartial t = rho0 cdot [0 - (-sin(omega t) cdot omega)] = rho0 omega sin(omega t)

Passo 4

Substituindo rho0 omega sin(omega t) + partial (rho u)partial x = 0 na equação da continuidade:
Agora, vamos desenvolver o termo . Para isso, vamos considerar que é uma função de e é uma função de e .

Passo 5

Explicando um pouco mais, a derivada parcial de partial (rho u)partial x = rho partial upartial x + u partial rhopartial x em relação a partial (rho u)partial x = rho partial upartial x é:
Mas, na densidade dada, depende apenas de , então . Portanto, simplificamos para:

Passo 6

Voltando à equação da continuidade com essa simplificação:
rho0 omega sin(omega t) + rho partial upartial x = 0
Agora, vamos isolar partial upartial x = -rho0 omega sin(omega t)rho :
partial upartial x = -rho0 omega sin(omega t)rho0 [2 - cos(omega t)] = -omega sin(omega t)2 - cos(omega t)
Substituindo :

Passo 7

Agora, para encontrar a variação da velocidade u(x, t) = u0 - integral0^x omega sin(omega t)2 - cos(omega t) dx com o tempo u(x, t) = u0 - x cdot omega sin(omega t)2 - cos(omega t) , precisamos integrar essa expressão em relação a . Vamos considerar que a velocidade no ponto é , que é a condição inicial dada.
Integrando:
Mas, como a integral de é apenas , podemos simplificar:

Resposta

A variação da velocidade com o tempo u(x, t) = u0 - x cdot omega sin(omega t)2 - cos(omega t) é dada por:

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