(UFT) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão
é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a expressão
pra calcular. Aqui,
é a unidade imaginária dos números complexos, que é essencial na matemática para resolver equações que envolvem a raiz quadrada de números negativos. Para resolver essa expressão, vamos precisar entender como manipular números complexos e como elevar uma soma envolvendo números complexos a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Nesse caso,
é a parte real e
é a parte imaginária do número complexo. Então, podemos escrever
como
.
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo da potência, vamos converter o número complexo
para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por
, onde
é o módulo (ou magnitude) do número complexo e
é o ângulo (ou argumento) que ele forma com o eixo real no plano complexo.
Passo 4
Vamos calcular o módulo
de
. A fórmula para o módulo é:
Onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ângulo
. A fórmula para o ângulo é:
Substituindo
e
:
Então, a forma polar de
é:
Passo 6
Para elevar
à oitava potência, usamos a fórmula de De Moivre, que diz:
Aqui,
,
e
. Então:
Calculando:
E:
Então:
Resposta
O valor da expressão
é
.