(UFT) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão (i+1)^8 é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a expressão (i + 1)^8 pra calcular. Aqui, i é a unidade imaginária dos números complexos, que é essencial na matemática para resolver equações que envolvem a raiz quadrada de números negativos. Para resolver essa expressão, vamos precisar entender como manipular números complexos e como elevar uma soma envolvendo números complexos a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é i + 1. Nesse caso, 1 é a parte real e i é a parte imaginária do número complexo. Então, podemos escrever i + 1 como 1 + i.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo da potência, vamos converter o número complexo 1 + i para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por r(cos theta + i sin theta), onde r é o módulo (ou magnitude) do número complexo e theta é o ângulo (ou argumento) que ele forma com o eixo real no plano complexo.

Passo 4

Vamos calcular o módulo r de 1 + i. A fórmula para o módulo é:
r = raiza^2 + b^2
Onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Então:
r = raiz1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo theta. A fórmula para o ângulo é:
theta = tan^-1(ba)
Substituindo a = 1 e b = 1:
theta = tan^-1(11) = tan^-1(1) = 45^circ
Então, a forma polar de 1 + i é:
raiz2(cos 45^circ + i sin 45^circ)

Passo 6

Para elevar 1 + i à oitava potência, usamos a fórmula de De Moivre, que diz:
[r(cos theta + i sin theta)]^n = r^n (cos(ntheta) + i sin(ntheta))
Aqui, n = 8, r = raiz2 e theta = 45^circ. Então:
(raiz2)^8 (cos(8 times 45^circ) + i sin(8 times 45^circ))
Calculando:
(raiz2)^8 = (2^1/2)^8 = 2^4 = 16
E:
8 times 45^circ = 360^circ
Então:
16 (cos 360^circ + i sin 360^circ) = 16 (1 + i cdot 0) = 16

Resposta

O valor da expressão (i + 1)^8 é 16.

Exercícios relacionados