(UFT) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a expressão pra calcular. Aqui, é a unidade imaginária dos números complexos, que é essencial na matemática para resolver equações que envolvem a raiz quadrada de números negativos. Para resolver essa expressão, vamos precisar entender como manipular números complexos e como elevar uma soma envolvendo números complexos a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . Nesse caso, é a parte real e é a parte imaginária do número complexo. Então, podemos escrever como .
Passo 3
Agora, para facilitar o cálculo da potência, vamos converter o número complexo para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por , onde é o módulo (ou magnitude) do número complexo e é o ângulo (ou argumento) que ele forma com o eixo real no plano complexo.
Passo 4
Vamos calcular o módulo de . A fórmula para o módulo é:
Onde é a parte real e é a parte imaginária. Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ângulo . A fórmula para o ângulo é:
Substituindo e :
Então, a forma polar de é:
Passo 6
Para elevar à oitava potência, usamos a fórmula de De Moivre, que diz: