(UFT) Considere i a unidade imaginária dos números complexos. O valor da expressão é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a expressão pra calcular. Aqui, é a unidade imaginária dos números complexos, que é essencial na matemática para resolver equações que envolvem a raiz quadrada de números negativos. Para resolver essa expressão, vamos precisar entender como manipular números complexos e como elevar uma soma envolvendo números complexos a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Nesse caso, é a parte real e é a parte imaginária do número complexo. Então, podemos escrever como .

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo da potência, vamos converter o número complexo para a forma polar. A forma polar de um número complexo é dada por , onde é o módulo (ou magnitude) do número complexo e é o ângulo (ou argumento) que ele forma com o eixo real no plano complexo.

Passo 4

Vamos calcular o módulo de . A fórmula para o módulo é:
Onde é a parte real e é a parte imaginária. Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo . A fórmula para o ângulo é:
Substituindo e :
Então, a forma polar de é:

Passo 6

Para elevar à oitava potência, usamos a fórmula de De Moivre, que diz:
Aqui, , e . Então:
Calculando:
E:
Então:

Resposta

O valor da expressão é .

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