Ache a reta que passa pelo ponto e que forma ângulos congruentes com as retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma reta que passe pelo ponto e que forme ângulos iguais com as três retas dadas , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas no espaço. Vamos precisar identificar as direções das retas e aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as direções das retas , e . A direção de uma reta no espaço é dada pelo vetor diretor, que podemos extrair das equações paramétricas:
Para a reta :
Para a reta :
Para a reta :
Passo 3
Agora, vamos supor que a reta que queremos encontrar tenha um vetor diretor . Como essa reta passa pelo ponto , sua equação paramétrica será:
Passo 4
Para que a reta formada forme ângulos iguais com as retas , e , o ângulo entre e , e , e e deve ser o mesmo. A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Como os ângulos são iguais, os cossenos também serão iguais. Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular os produtos internos e os módulos dos vetores:
Produto interno:
Módulos:
Passo 6
Substituindo na equação dos cossenos iguais:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Passo 7
Agora temos um sistema de equações:
Substituindo na equação (1):
Passo 8
Então, temos que:
Podemos escolher (qualquer valor diferente de zero serve, já que estamos buscando a direção). Assim:
Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é:
Resposta
A reta que passa pelo ponto e forma ângulos congruentes com as retas , e tem equação paramétrica dada por: