Ache a reta que passa pelo ponto e que forma ângulos congruentes com as retas

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma reta que passe pelo ponto e que forme ângulos iguais com as três retas dadas , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas no espaço. Vamos precisar identificar as direções das retas e aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das retas , e . A direção de uma reta no espaço é dada pelo vetor diretor, que podemos extrair das equações paramétricas:
  • Para a reta :
  • Para a reta :
  • Para a reta :

Passo 3

Agora, vamos supor que a reta que queremos encontrar tenha um vetor diretor . Como essa reta passa pelo ponto , sua equação paramétrica será:

Passo 4

Para que a reta formada forme ângulos iguais com as retas , e , o ângulo entre e , e , e e deve ser o mesmo. A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Como os ângulos são iguais, os cossenos também serão iguais. Então, temos:

Passo 5

Vamos calcular os produtos internos e os módulos dos vetores:
  • Produto interno:
  • Módulos:

Passo 6

Substituindo na equação dos cossenos iguais:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
Substituindo na equação (1):

Passo 8

Então, temos que:
Podemos escolher (qualquer valor diferente de zero serve, já que estamos buscando a direção). Assim:
Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é:

Resposta

A reta que passa pelo ponto e forma ângulos congruentes com as retas , e tem equação paramétrica dada por:

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Seja um vetor genérico do . Quais das aplicações definidas abaixo são operadores lineares do ?
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