Ache a reta que passa pelo ponto P=(0,2,1) e que forma ângulos congruentes com as retas
r:l x=lambda y=2 lambda z=2 lambda s:l x=1 y=2+3 lambda z=3 t:l x=1 y=2 z=3 lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma reta que passe pelo ponto e que forme ângulos iguais com as três retas dadas , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas no espaço. Vamos precisar identificar as direções das retas e aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das retas dr = 1 2 2 , ds = 0 3 0 e dt = 0 0 3 . A direção de uma reta no espaço é dada pelo vetor diretor, que podemos extrair das equações paramétricas:
  • Para a reta :
  • Para a reta :
  • Para a reta :

Passo 3

Agora, vamos supor que a reta que queremos encontrar tenha um vetor diretor a b c . Como essa reta passa pelo ponto x = 0 + alambda y = 2 + blambda z = 1 + clambda , sua equação paramétrica será:

Passo 4

Para que a reta formada forme ângulos iguais com as retas cos theta = u cdot v|u| , |v| , u cdot dr|u| , |dr| = u cdot ds|u| , |ds| = u cdot dt|u| , |dt| e , o ângulo entre e , e , e e deve ser o mesmo. A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Como os ângulos são iguais, os cossenos também serão iguais. Então, temos:

Passo 5

Vamos calcular os produtos internos e os módulos dos vetores:
  • Produto interno:
    u cdot dr = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 2 = a + 2b + 2c
    u cdot ds = a cdot 0 + b cdot 3 + c cdot 0 = 3b
    u cdot dt = a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 3 = 3c
  • Módulos:
    |u| = raiza^2 + b^2 + c^2
    |dr| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = 3
    |ds| = raiz0^2 + 3^2 + 0^2 = 3
    |dt| = raiz0^2 + 0^2 + 3^2 = 3

Passo 6

Substituindo na equação dos cossenos iguais:
a + 2b + 2c|u| cdot 3 = 3b|u| cdot 3 = 3c|u| cdot 3
Podemos simplificar dividindo todos os termos por a + 2b + 2c = 3b = 3c :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações:
a + 2b + 2c = 3b Rightarrow a + 2c = b (1)
3b = 3c Rightarrow b = c (2)
Substituindo a + 2c = c Rightarrow a = -c na equação (1):

Passo 8

Então, temos que:
a = -c e b = c
Podemos escolher a = -1, b = 1, c = 1 (qualquer valor diferente de zero serve, já que estamos buscando a direção). Assim:
u = -1 1 1
Portanto, o vetor diretor da reta que buscamos é:

Resposta

A reta que passa pelo ponto x = -lambda y = 2 + lambda z = 1 + lambda e forma ângulos congruentes com as retas , e tem equação paramétrica dada por:

Exercícios relacionados