Ache a reta que passa pelo ponto e que forma ângulos congruentes com as retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar uma reta que passe pelo ponto e que forme ângulos iguais com as três retas dadas , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre ângulos entre retas no espaço. Vamos precisar identificar as direções das retas e aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as direções das retas dr = 1 2 2 , ds = 0 3 0 e dt = 0 0 3 . A direção de uma reta no espaço é dada pelo vetor diretor, que podemos extrair das equações paramétricas:
Para a reta :
Para a reta :
Para a reta :
Passo 3
Agora, vamos supor que a reta que queremos encontrar tenha um vetor diretor a b c . Como essa reta passa pelo ponto x = 0 + alambda y = 2 + blambda z = 1 + clambda , sua equação paramétrica será:
Passo 4
Para que a reta formada forme ângulos iguais com as retas cos theta = u cdot v|u| , |v| , u cdot dr|u| , |dr| = u cdot ds|u| , |ds| = u cdot dt|u| , |dt| e , o ângulo entre e , e , e e deve ser o mesmo. A fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores e é:
Como os ângulos são iguais, os cossenos também serão iguais. Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular os produtos internos e os módulos dos vetores:
Produto interno:
u cdot dr = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 2 = a + 2b + 2c