Encontre um polinômio cúbico (grau 3) cujo gráfico passa pelos pontos (1, 3), (2,-2), (3, -5) e (4,0).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de matemática sobre polinômios cúbicos, que são polinômios de grau 3. A missão é encontrar um polinômio desse tipo que passa por quatro pontos específicos: (1, 3), (2, -2), (3, -5) e (4, 0). Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando a forma geral do polinômio cúbico e resolver esse sistema para achar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral de um polinômio cúbico. Ela é dada por:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
Aqui, , , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

A próxima etapa é usar os pontos que o polinômio passa para criar quatro equações. Vamos substituir cada par 3 = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d na equação do polinômio.
Para o ponto (1, 3):
3 = a + b + c + d
-2 = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d \quad (Equação 1)
Para o ponto (2, -2):
-2 = 8a + 4b + 2c + d
-5 = a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) + d \quad (Equação 2)
Para o ponto (3, -5):
-5 = 27a + 9b + 3c + d
0 = a(4)^3 + b(4)^2 + c(4) + d \quad (Equação 3)
Para o ponto (4, 0):
0 = 64a + 16b + 4c + d
\quad (Equação 4)

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas:
a + b + c + d = 3 8a + 4b + 2c + d = -2 27a + 9b + 3c + d = -5 64a + 16b + 4c + d = 0
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos eliminar (8a + 4b + 2c + d) - (a + b + c + d) = -2 - 3 subtraindo a Equação 1 das Equações 2, 3 e 4.
Subtraindo Equação 1 da Equação 2:
7a + 3b + c = -5
(27a + 9b + 3c + d) - (a + b + c + d) = -5 - 3 \quad (Equação 5)
Subtraindo Equação 1 da Equação 3:
26a + 8b + 2c = -8
(64a + 16b + 4c + d) - (a + b + c + d) = 0 - 3 \quad (Equação 6)
Subtraindo Equação 1 da Equação 4:
63a + 15b + 3c = -3
\quad (Equação 7)

Passo 5

Agora, vamos simplificar o sistema formado pelas Equações 5, 6 e 7.
Primeiro, da Equação 5:
7a + 3b + c = -5 \quad (Equação 5)
Multiplicando a Equação 5 por 2 e subtraindo da Equação 6:
2(7a + 3b + c) = 14a + 6b + 2c = -10
26a + 8b + 2c - (14a + 6b + 2c) = -8 - (-10)
12a + 2b = 2
6a + b = 1 \quad (Equação 8)
Agora, multiplicando a Equação 5 por 3 e subtraindo da Equação 7:
3(7a + 3b + c) = 21a + 9b + 3c = -15
63a + 15b + 3c - (21a + 9b + 3c) = -3 - (-15)
42a + 6b = 12
7a + b = 2 \quad (Equação 9)

Passo 6

Agora temos um sistema com duas equações:
6a + b = 1 *(Equação 8) 7a + b = 2 *(Equação 9) çãçã
Vamos subtrair a Equação 8 da Equação 9 para encontrar (7a + b) - (6a + b) = 2 - 1 :
a = 1
6(1) + b = 1
Agora que sabemos que 6 + b = 1 , substituímos na Equação 8 para encontrar b = -5 :

Passo 7

Com 7(1) + 3(-5) + c = -5 e 7 - 15 + c = -5 , vamos voltar para a Equação 5 para encontrar -8 + c = -5 :
c = 3
1 + (-5) + 3 + d = 3
-1 + d = 3
d = 4
Finalmente, com , e , usamos a Equação 1 para achar :

Resposta

O polinômio cúbico que passa pelos pontos dados é:
P(x) = x^3 - 5x^2 + 3x + 4

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