Sejam e bases do tais que e .
(b) Encontre , se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Pelo enunciado, temos duas bases no espaço tridimensional, . A base é formada pelos vetores , e . A base é definida em termos da base com os vetores , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na base , ou seja, .
Para isso, vamos precisar entender como os vetores da base estão relacionados aos vetores da base e depois resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que expressam como combinação linear desses vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar os vetores da base em termos dos vetores da base . Segundo o enunciado:
Agora, substituímos os valores dos vetores , e :
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os valores:
Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Uma maneira simples é usar o método da substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação aqui.
Primeiro, da equação (2):
Agora, substituímos da equação (4) na equação (1):
Agora, substituímos da equação (4) na equação (3):

Passo 5

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações:
Agora, substituímos na equação (6):
Agora que temos e , vamos encontrar usando a equação (4):

Passo 6

Então, encontramos os valores:
Isso significa que as coordenadas do vetor na base são .

Resposta

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Seja uma transformação linear. Dizemos que um subespaço vetorial é invariante por se . Mostre que um subespaço de de dimensão 1 é invariante por se, e somente se, existe tal que .
Considere a transformação linear definida por .
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