Seja uma transformação linear. Dizemos que um subespaço vetorial é invariante por se . Mostre que um subespaço de de dimensão 1 é invariante por se, e somente se, existe tal que .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear e um subespaço vetorial de dimensão 1. Queremos mostrar que é invariante por se e somente se existe um número real tal que, para todo vetor em , .
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de transformação linear, subespaço vetorial, e invariância de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço ser invariante por uma transformação linear. Dizemos que é invariante por se, ao aplicar em qualquer vetor de , o resultado ainda está dentro de . Ou seja, .
Passo 3
Agora, como é um subespaço de dimensão 1, ele é gerado por um único vetor não nulo. Vamos escolher um vetor não nulo tal que todo vetor em pode ser escrito como vezes um escalar real. Ou seja, .
Passo 4
Suponha que seja invariante por . Então, aplicando em , temos que também está em . Como é gerado por , existe um escalar tal que:
Como é linear, para qualquer vetor :
Portanto, para todo , .
Passo 5
Agora, vamos fazer o caminho inverso. Suponha que existe um escalar tal que, para todo , .
Queremos mostrar que é invariante por . Seja . Então:
Como ainda está em (porque é fechado em relação à multiplicação por escalar), concluímos que . Portanto, , ou seja, é invariante por .
Resposta
Concluímos que um subespaço de dimensão 1 é invariante por uma transformação linear se e somente se existe um escalar tal que para todo .